当刑事案件在初次审查后决定不予立案，但随后又发现了新的证据，您可以通过以下步骤来重新申请立案：
一、整理并提交新证据
首先，您需要仔细整理新发现的证据。这些证据应当与案件直接相关，并且具备合法性、有效性和足够的证明力。证据的类型可以多种多样，包括但不限于物证、书证、证人证言、被害人陈述、犯罪嫌疑人供述和辩解、鉴定意见、勘验笔录、检查笔录、辨认笔录、侦查实验笔录，以及视听资料、电子数据等。
在整理好证据后，您需要将这些证据及其详细清单、说明提交给原决定不予立案的公安机关。同时，您还需要提交一份复议申请书，详细说明不予立案决定的错误之处，以及新证据如何证明有犯罪事实需要追究刑事责任。
二、等待并跟进复议结果
公安机关在收到您的复议申请后，通常会在一定时间内（如7日内）作出决定，并书面通知您。如果复议结果仍然维持原不予立案的决定，您可以在收到复议决定书后的规定时间内（如7日内）向上一级公安机关申请复核，或者向人民检察院提出申诉。
三、探索其他法律救济途径
向上一级公安机关反映情况： 如果您对复议或复核结果仍不满意，可以向上一级公安机关反映情况，请求上级公安机关对下级公安机关进行督促，以促使其重新考虑立案。
向人民检察院提出申诉： 您还可以向人民检察院提出申诉，请求其对公安机关的不予立案决定进行监督。人民检察院将审查案件材料和新证据，如果认为公安机关的不立案理由不能成立，将通知公安机关立案。
直接向人民法院提起自诉（针对特定案件）： 对于某些属于自诉范围的刑事案件，如侮辱、诽谤案（但严重危害社会秩序和国家利益的除外）、暴力干涉婚姻自由案、虐待案、侵占案等，即使公安机关不予立案，您在有新证据的情况下也可以直接向人民法院提起自诉。
四、注意事项
在整个过程中，您需要保持冷静和理性，积极配合公安机关和人民检察院的工作。同时，为了确保您的权益得到有效保障，寻求专业律师的法律帮助是非常必要的。律师可以为您提供法律咨询、代理复议、申诉等全方位的法律服务。
综上所述，当刑事案件不予立案后又发现新证据时，您应依法重新提交证据并申请复议。如果复议结果仍不满意，您可以通过上述法律救济途径来维护自己的合法权益。