当刑事案件在初次审查后被公安机关决定不予立案，但随后控告人发现了新证据时，确实可以通过一系列法律程序来重新申请立案。以下是关于刑事不立案后重新立案所需证据及相关程序的详细解答：

一、新证据的要求与类型

首先，新证据必须与案件直接相关，并且要具备合法性、有效性和证明力。这意味着证据必须是通过合法途径获取的，能够真实反映案件事实，并且对案件的定性或量刑有实质性影响。证据类型可以包括但不限于：

• 物证：如与案件相关的物品、痕迹等。
• 书证：如合同、信件、日记等，能够证明案件事实的文字材料。
• 证人证言：了解案件情况的人所提供的陈述。
• 被害人陈述：被害人对案件经过和自身遭受损害的详细描述。
• 犯罪嫌疑人供述和辩解：犯罪嫌疑人对自身行为的陈述和辩解。
• 鉴定意见：如法医鉴定、物证鉴定等，由专业人员出具的关于案件事实的专业意见。
• 勘验笔录、检查笔录、辨认笔录、侦查实验笔录：记录勘验、检查、辨认、侦查实验等过程和结果的书面材料。
• 视听资料、电子数据：如录音、录像、电子邮件、聊天记录等，能够证明案件事实的电子记录。

二、重新提交证据与申请复议的程序

1. 整理新证据：控告人需要将新发现的证据进行整理，并附上详细的清单和说明，以便公安机关能够清晰了解证据的内容和来源。

2. 提交证据与复议申请：控告人应将新证据及其清单、说明提交给原决定不予立案的公安机关，并同时提交复议申请书。在复议申请书中，控告人需要详细说明不予立案决定的错误之处，以及新证据如何证明有犯罪事实需要追究刑事责任。

3. 等待复议结果：公安机关将在收到复议申请后的一定期限内（通常为7日）作出决定，并书面通知控告人。如果控告人对复议决定不服，可以在收到复议决定书后的一定期限内（通常为7日）向上一级公安机关申请复核。

三、法律救济途径

如果控告人对复议或复核结果仍然不满意，还可以通过以下法律救济途径来维护自己的权益：

1. 向上一级公安机关反映情况：控告人可以向上一级公安机关反映情况，要求上级督促下级公安机关立案。

2. 向人民检察院提出申诉：控告人可以向人民检察院提出申诉，请求其对公安机关的不予立案决定进行监督。人民检察院将审查案件材料和新证据，如果认为公安机关不立案理由不能成立，将通知公安机关立案。

3. 直接向人民法院提起自诉（针对部分案件）：对于属于自诉范围的刑事案件，如侮辱、诽谤案（严重危害社会秩序和国家利益的除外）、暴力干涉婚姻自由案、虐待案、侵占案等，即使公安机关不予立案，被害人有新证据后也可直接向人民法院提起自诉。

四、注意事项

在整个过程中，控告人应保持冷静、理性，积极配合公安机关和人民检察院的工作，及时提交新证据并了解审查结果。同时，控告人也可以寻求专业律师的法律帮助，以便更好地维护自己的合法权益。律师可以提供法律咨询、代理复议、申诉等法律服务，帮助控告人更有效地维护自己的权益。

综上所述，当刑事案件不予立案后有新证据时，控告人应依法重新提交证据并申请复议。若复议结果仍不满意，可通过法律救济途径来维护自己的权益。