当行政机关不履行法定职责时，公民、法人或其他组织有权依法提起行政诉讼，要求行政机关履行职责并承担相应的法律责任。以下从多个角度为您详细解析这一问题：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条的规定，人民法院受理公民、法人或者其他组织对下列事项提起的诉讼，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”。这一条款明确赋予了公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时提起诉讼的权利。
二、起诉条件
要成功起诉行政机关不履行法定职责，您需要满足以下条件：
原告资格：您必须是认为行政机关的不作为行为侵犯了其合法权益的公民、法人或其他组织。这意味着，只有与行政机关的不作为行为有直接利害关系的主体，才有资格提起诉讼。
被告明确：被告必须是作出具体行政行为的行政机关或法律、法规授权的组织。在行政机关不作为的情况下，被告就是应当履行职责而未履行的那个行政机关。
有具体的诉讼请求和事实根据：您需要明确提出自己的诉讼请求，即要求行政机关履行何种职责，并提供相应的事实根据来证明行政机关确实存在不作为的行为。例如，您可以提供向行政机关提出的申请书、邮寄凭证、沟通记录等证据。
属于人民法院受案范围和受诉人民法院管辖：您的起诉必须属于人民法院的受案范围，并且应当向有管辖权的人民法院提出。一般来说，由最初作出行政行为的行政机关所在地人民法院管辖。经复议的案件可由复议机关所在地法院管辖。对国务院部门或县级以上地方政府所作的行政行为提起诉讼，以及海关处理的案件，由中级人民法院管辖。
三、起诉流程
如果您决定起诉行政机关不履行法定职责，可以按照以下流程进行：
准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求，事实与理由等内容。证据材料应能够证明行政机关存在不作为的行为以及您因此遭受的损失。
向法院提交起诉材料：将准备好的起诉材料提交给有管辖权的人民法院。
法院受理：法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知您缴纳诉讼费用。
开庭审理：法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
法院判决与执行：法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持您的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责；如果判决驳回您的诉讼请求，您可以在法定期限内提起上诉。
四、注意事项
在起诉行政机关不履行法定职责的过程中，您需要注意以下几点：
遵守诉讼时效：根据法律规定，您应当自知道或者应当知道行政机关未履行法定职责之日起六个月内提起诉讼。逾期法院可能不予受理。
提供充分证据：在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明行政机关存在不作为的行为以及您因此遭受的损失。证据应真实、合法、有效，并能够形成完整的证据链。
了解行政机关的法定职责：在起诉前，您需要了解相关法律法规，明确行政机关的法定职责。这有助于您确定诉讼请求和提供事实根据。
五、实际案例
以下是一个实际案例，供您参考：
案例：李先生在某市拥有合法宅基地及房屋，因城市建设面临征收。他认为征收补偿标准过低，向某市自然资源和规划局提出查处申请，要求调查处理违法占地、违规拆迁等行为，并书面告知结果。然而，该局在两个月内既未调查处理，也未给予答复。李先生遂提起行政诉讼。法院经审理认为，市自然资源和规划局作为土地管理和监督工作的行政机关，具有对李先生申请事项进行调查处理的法定职责。该局未履行上述职责，构成不履行法定职责。最终，法院判决责令市自然资源和规划局在一定期限内对李先生的申请事项进行调查处理，并将处理结果书面告知李先生。
通过这个案例，我们可以看到，当行政机关不履行法定职责时，公民有权依法提起行政诉讼，要求行政机关履行职责并承担法律责任。如果您遇到类似情况，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。