结论：私人老板开除员工且未签订劳务合同的情况下，员工是否有权获得赔偿，需根据具体情况判断，但通常情况下，员工有权主张一定的赔偿或补偿。
分析说明：
劳务合同与劳动关系的确认：
- 尽管未签订书面劳务合同，但若双方实际存在劳动关系（如员工接受老板的管理、指挥，从事老板安排的工作，并获得报酬），则根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，双方应视为存在事实劳动关系。
- 事实劳动关系的存在，意味着员工享有与签订书面劳动合同员工相同的权益，包括但不限于获得劳动报酬、享受社会保险、获得劳动保护等。
开除员工的合法性：
- 私人老板开除员工，必须基于合法、合理的理由，并遵循法定的程序。若老板无正当理由或违反法定程序开除员工，则可能构成违法解除劳动关系。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，违法解除劳动关系的，员工有权要求老板支付赔偿金。
赔偿或补偿的确定：
- 若老板违法解除劳动关系，员工有权要求支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。经济补偿金根据员工在老板处工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 若老板开除员工的行为合法但未提前通知或未支付经济补偿（如因员工严重违反规章制度等情形），则员工可能只能要求支付经济补偿，而非赔偿金。
- 在未签订书面劳务合同的情况下，员工还可以主张因未签订合同而应获得的双倍工资差额（但需注意，这一主张通常受时效限制，且需证明双方存在事实劳动关系）。
特殊场景：
- 若员工与老板之间仅存在劳务关系（如临时用工、一次性服务等），而非劳动关系，则可能不适用《中华人民共和国劳动合同法》的规定。此时，员工是否有权获得赔偿，需根据双方之间的劳务合同或约定，以及《中华人民共和国民法典》中关于合同违约或侵权的规定来判断。
- 若老板开除员工的行为涉及歧视、侮辱、体罚等违法行为，员工还可以根据相关法律法规，主张精神损害赔偿等额外赔偿。
行动建议：
- 收集证据：员工应尽可能收集能够证明双方存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、工作记录、同事证言等。
- 协商解决：在证据充分的情况下，员工可以尝试与老板协商解决赔偿问题，以达成和解协议。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求老板支付赔偿金或经济补偿。
- 寻求法律援助：在劳动仲裁过程中，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，关键在于证明双方存在事实劳动关系以及老板开除员工的行为是否合法。因此，员工应注重收集相关证据，并了解相关法律法规的规定。
- 若员工对劳动仲裁结果不满，还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自己的权益。