结论前置：在私人企业工作8年后被公司辞退，是否有补偿及补偿的具体情况，主要取决于辞退的原因、劳动合同中的约定以及相关法律法规的规定。
一、用人单位需支付经济补偿的情形
协商一致解除：
- 根据《劳动合同法》第三十六条和第四十六条，若用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。因此，工作八年的员工可获得八个月工资的经济补偿。
无过失性辞退：
- 依据《劳动合同法》第四十条，若劳动者因患病、不能胜任工作或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且未能就变更协议达成一致而被辞退，用人单位同样需支付经济补偿，标准同上，即八个月工资。若未提前三十日书面通知，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
经济性裁员：
- 按照《劳动合同法》第四十一条，企业因破产重整、生产经营发生严重困难等原因进行经济性裁员时，也应向劳动者支付经济补偿，标准同上，即八个月工资。
二、用人单位需支付赔偿金的情形
- 如果用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由突然辞退员工，且劳动者不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于工作八年的员工，赔偿金为十六个月工资。
三、用人单位无需支付补偿的情形
劳动者主动离职：
- 若劳动者因个人原因主动提出解除劳动合同，且不存在用人单位违法行为导致劳动者解除合同的情况，用人单位无需支付经济补偿。
劳动者存在过错：
- 若劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等，用人单位解除劳动合同时无需支付经济补偿。
四、月工资的计算标准
- 经济补偿或赔偿金中的“月工资”指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 若劳动者月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。
五、其他注意事项
- 除了经济补偿金，员工还可能享有未休年假的补偿、加班费的结算等其他权益，需根据具体情况核算和主张。
- 在处理此类纠纷时，建议员工保留好相关证据，如劳动合同、工资条、辞退通知等，以便在需要时维护自己的合法权益。
行动建议：
- 首先查看劳动合同中的相关条款，了解自身权益。
- 对辞退理由存疑或认为自身权益受到侵害时，可向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律帮助。
综上所述，被辞退员工是否能获得补偿及补偿的具体金额，需综合考虑劳动合同约定、辞退原因以及相关法律法规的规定。在任何情况下，都应保持冷静，了解自己的权益，并在必要时寻求专业的法律支持。