履行法定职责申请书原则上必须回复，但具体回复要求需结合申请对象和法律规定综合判断。以下分情况详细说明：

1. 向行政机关申请履行法定职责
   根据《行政诉讼法》第四十七条及《行政复议法》相关规定，若公民、法人或其他组织向行政机关提出履行法定职责的申请（如申请信息公开、行政许可、行政处罚等），行政机关必须在法定期限内作出书面答复。例如：

   • 申请政府信息公开的，行政机关需在20个工作日内答复（可延长20个工作日）；
     
   • 申请行政许可的，行政机关需在20日内作出许可或不予许可的决定（经批准可延长10日）。
     若行政机关未回复或超期回复，申请人可依法申请行政复议或提起行政诉讼，要求确认行政机关不作为违法并责令履行职责。

2. 向司法机关（如法院、检察院）申请履行职责

   • 法院：若当事人向法院申请强制执行、再审等，法院需在法定期限内审查并作出裁定（如强制执行申请需在7日内审查）。
     
   • 检察院：若公民向检察院申请监督（如民事诉讼监督），检察院需在3个月内审查终结并答复申请人。
     若司法机关未回复，申请人可依据《民事诉讼法》《行政诉讼法》或《人民检察院民事诉讼监督规则》等规定，通过上诉、申诉或向上级机关反映等方式维权。

3. 向其他组织（如村委会、居委会、企业）申请履行职责
   若申请对象非行政机关或司法机关，而是村委会、居委会、企业等民事主体，法律未强制要求其必须书面回复，但需根据具体场景判断：

   • 若该组织基于合同或内部规定负有职责（如物业公司未按合同维修设施），申请人可依据《民法典》合同编要求其履行义务或赔偿损失；
     
   • 若该组织的行为涉及公共利益（如村委会截留征地补偿款），申请人可向乡镇政府反映或提起民事诉讼。

关键提醒：

• 申请书需明确请求事项、事实理由及法律依据，否则可能因内容不明确被要求补正或驳回；
  
• 保留好申请书的送达凭证（如邮寄回执、签字记录），以证明已履行申请程序；
  
• 若对回复内容不服，需在法定期限内（如行政复议60日、行政诉讼6个月）提起救济程序。
  

如有具体场景或申请对象，可进一步向我说明，我会结合细节提供更精准的建议。