针对双方共同委托的鉴定机构出具鉴定书后对方不服的情况，可以从以下几个角度进行分析和处理：
审查鉴定意见的合法性及合理性：
- 鉴定人资质：首先，需要确认鉴定人是否具备相应的专业资质和执业证书。如果鉴定人不具备相应资格，那么其出具的鉴定意见可能不具备法律效力。
- 鉴定程序：检查鉴定过程是否遵循了法定程序，包括是否通知了双方当事人到场、是否进行了必要的实验步骤等。如果鉴定程序存在严重违法，如未通知当事人到场，那么鉴定意见可能被视为无效。
- 鉴定依据：评估鉴定意见所依据的材料是否真实、完整，以及鉴定意见是否明显依据不足。如果鉴定意见依据的材料存在瑕疵或不足，那么其结论可能受到质疑。
申请补充鉴定或重新鉴定：
- 申请条件：根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，如果鉴定意见存在上述问题，或者鉴定意见与其他证据存在重大矛盾且无法合理解释，当事人可以向审理法院提交书面申请，要求补充鉴定或重新鉴定。
- 申请流程：在法庭辩论终结前，向法院提交书面申请，详细说明申请补充鉴定或重新鉴定的理由，并附上相关证据。法院将根据申请理由和证据决定是否准许。
通过法庭质证和辩论挑战鉴定意见：
- 质证要点：在庭审中，可以重点审查鉴定人的资质、鉴定程序的合法性以及鉴定依据的充分性。通过提出质疑和反驳，试图削弱或推翻鉴定意见的证明力。
- 专家辅助人制度：如果条件允许，可以聘请有专门知识的人出庭协助质证。这些专家可以对鉴定报告中的专业问题提出专业意见，帮助法庭更全面地了解案件事实。
考虑其他救济途径：
- 向上级法院申请监督或再审：如果一审法院采信了有争议的鉴定意见，且该意见对案件结果产生了重大影响，可以在上诉阶段详细论证其错误性，并提供新证据支持主张。二审法院可能直接改判或发回重审。如果判决已经生效，且发现新的证据足以推翻原鉴定，还可以通过再审程序寻求救济。
- 投诉举报违规鉴定行为：如果发现鉴定机构存在超范围执业、伪造数据等违法行为，可以向省级司法行政部门投诉。同时，对于违反职业道德的行为，如私下接触当事人，也可以向所属行业协会举报。
在处理此类纠纷时，建议采取以下步骤：
- 收集证据：收集与鉴定意见相关的所有证据，包括鉴定报告、鉴定过程记录、相关材料等。
- 咨询专业律师：由于医疗纠纷和合同纠纷领域涉及复杂的法律问题和专业知识，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 积极应对诉讼：如果纠纷进入诉讼程序，应积极准备证据和材料，参与庭审和质证过程，维护自己的合法权益。
最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类纠纷时，应根据案件的具体情况和相关法律法规进行综合分析和判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。