结论：第三方劳务派遣公司人员在工作中突发疾病入院抢救，劳务派遣公司及用工单位可能需根据具体情况承担相应责任，主要包括工伤认定与赔偿、雇主责任以及可能的民事赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
工伤认定与赔偿：
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》及相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。对于劳务派遣员工，若其在工作中突发疾病且该疾病与工作有直接关联（如因工作强度过大、工作环境恶劣等导致），有可能被认定为工伤。但需注意，单纯的工作中突发疾病并不一定构成工伤，需满足“与工作有直接关联”的条件。
- 赔偿责任：若被认定为工伤，劳务派遣公司作为用人单位，应承担工伤保险责任，包括支付工伤医疗费用、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。若劳务派遣公司未依法为劳动者缴纳工伤保险费，则所有工伤保险待遇均由劳务派遣公司承担。
雇主责任：
- 安全保障义务：劳务派遣公司及用工单位均有义务为劳动者提供安全的工作环境，采取必要的劳动保护措施。若因工作环境不安全、劳动保护措施不到位等原因导致劳动者突发疾病，劳务派遣公司及用工单位可能需承担雇主责任。
- 赔偿责任范围：雇主责任可能包括医疗费用、误工费、护理费等因疾病导致的直接经济损失。若疾病导致劳动者伤残或死亡，还可能涉及残疾赔偿金、死亡赔偿金等。
民事赔偿责任：
- 过错原则：若劳务派遣公司或用工单位在劳动者突发疾病事件中存在过错（如未及时救治、未提供必要的医疗协助等），则可能需根据过错程度承担相应的民事赔偿责任。
- 赔偿范围：民事赔偿责任范围可能包括因过错导致的额外医疗费用、精神损害抚慰金等。
建议与行动：
- 及时救治与报告：劳务派遣公司及用工单位在发现劳动者突发疾病后，应立即进行救治，并及时向相关部门报告。
- 申请工伤认定：若认为可能构成工伤，劳务派遣公司应及时向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 协商与调解：在责任认定及赔偿问题上，劳务派遣公司、用工单位与劳动者或其家属可尝试通过协商、调解等方式解决争议。
- 法律途径：若协商、调解无果，任何一方均可通过法律途径解决争议，包括申请劳动仲裁、提起民事诉讼等。
后续思考：
- 完善合同与制度：劳务派遣公司应完善与用工单位的派遣合同，明确双方在劳动者健康保障、工伤处理等方面的责任与义务。
- 加强劳动保护：劳务派遣公司及用工单位应加强对劳动者的劳动保护，提供安全的工作环境，采取必要的劳动保护措施，降低劳动者突发疾病的风险。
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