结论前置：第三方劳务派遣员工生病时，用人单位的责任需根据具体情况来判定，主要包括是否需承担工伤保险责任以及是否需承担其他相关责任。以下从这两个方面进行详细分析：
一、工伤保险责任
基本原则：
- 根据《劳务派遣暂行规定》第十条，被派遣劳动者在用工单位因工作遭受事故伤害的，劳务派遣单位应当依法申请工伤认定，用工单位应当协助工伤认定的调查核实工作。劳务派遣单位承担工伤保险责任，但可以与用工单位约定补偿办法。
具体情形：
- 若员工生病是由于工作原因导致的职业病或工伤，那么劳务派遣单位作为用人单位，需承担工伤保险责任，包括支付医疗费用、伤残津贴等。
- 若员工生病并非工作原因，而是个人健康问题，那么劳务派遣单位仍需按照《劳动合同法》和《社会保险法》的规定，为员工缴纳社会保险，包括医疗保险。员工可以通过医疗保险来报销部分医疗费用。
用工单位协助义务：
- 在工伤认定过程中，用工单位有义务协助劳务派遣单位进行调查核实工作，提供必要的证明材料和协助。
二、其他相关责任
工作环境与健康保障：
- 用工单位有义务为被派遣劳动者提供符合国家规定的劳动安全卫生条件和必要的劳动防护用品。若因用工单位提供的工作环境或条件导致员工生病，用工单位可能需承担一定的民事赔偿责任。
病假与工资支付：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因病或非因工负伤需要停止工作医疗时，企业应根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗期。在医疗期内，企业需按照规定支付员工病假工资或疾病救济费。这一规定同样适用于劳务派遣员工，但具体支付责任可能由劳务派遣单位与用工单位在合同中约定。
合同约定与实际情况：
- 劳务派遣单位与用工单位之间的劳务派遣协议中，可能会就员工生病时的责任承担进行具体约定。若协议中有明确约定，则按照协议执行。但协议内容不得违反法律法规的强制性规定。
综合建议：
- 对于劳务派遣员工而言，若生病且认为与工作有关，应及时向劳务派遣单位和用工单位报告，并按照规定申请工伤认定或享受医疗保险待遇。
- 对于劳务派遣单位和用工单位而言，应明确各自在员工生病时的责任和义务，并在劳务派遣协议中予以明确约定。同时，双方应加强沟通协作，共同保障员工的合法权益。
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