在刑事自诉案件中，若案件被驳回起诉，当事人是有权申请检察监督的，但需满足特定条件。以下是对此问题的详细分析：
一、申请检察监督的基本权利与原则
在刑事诉讼中，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，如果认为有错误，享有向人民检察院提出申诉或申请检察监督的重要权利。这是法律赋予当事人的一项基本救济途径，旨在保障当事人的合法权益，确保司法公正。
二、刑事自诉案件驳回起诉后申请检察监督的情况
一般情况：
- 当刑事自诉案件被法院驳回起诉后，这通常意味着法院认为案件不符合起诉条件或存在其他法定驳回情形。
- 在此情况下，当事人如果认为驳回起诉的决定有误，或者认为案件存在其他应当追究刑事责任的情形，可以向人民检察院申请检察监督。
特定条件下的申请：
- 当事人申请检察监督时，需要提出充分的事实和证据，证明原驳回起诉的决定确有错误，或者案件存在新的犯罪事实需要追究刑事责任。
- 这些新的事实和证据应当足以影响案件的定性或量刑，或者揭示原驳回起诉决定在法律适用、事实认定等方面的重大错误。
三、申请检察监督的具体条件和程序
申请主体：
- 当事人及其法定代理人、近亲属均有权向人民检察院申请检察监督。
申请时限：
- 申请检察监督的时限通常没有严格的限制，但建议当事人在知道驳回起诉决定后尽快提出申请，以便及时维护自己的合法权益。
- 需要注意的是，如果案件已经进入执行阶段或其他特定程序，申请检察监督的时限可能会受到相应限制。
申请材料：
- 当事人申请检察监督时，需要准备充分的申请材料，包括申请书、生效的驳回起诉裁定书及其相关法律文书，以及能够证明申请理由的相关证据。
- 申请书应当详细阐述申请检察监督的理由和依据，以及请求人民检察院采取的具体监督措施。
四、申请检察监督过程中的注意事项
保持冷静和理性：
- 当事人在申请检察监督过程中，应保持冷静和理性，通过合法途径表达自己的诉求，避免采取过激行为。
尊重法律和司法机关的权威：
- 当事人应尊重法律和司法机关的权威，遵守法律程序，不得干扰司法机关的正常工作秩序。
详细了解申请条件和程序：
- 当事人在申请检察监督前，应详细了解申请的具体条件和程序，以便更好地准备申请材料并提高申请的成功率。
五、可能的法律后果
人民检察院受理并启动监督程序：
- 如果人民检察院认为当事人的申请有理有据，符合受理条件，将会受理并启动监督程序，对原驳回起诉的决定进行审查。
人民检察院不予受理或维持原决定：
- 如果人民检察院认为当事人的申请不符合受理条件或原驳回起诉的决定并无错误，可能会不予受理或维持原决定。
- 在此情况下，当事人如果仍然认为案件存在错误或应当追究刑事责任，可以考虑通过其他合法途径寻求救济，如向上级人民法院申诉等。
总结来说，刑事自诉案件驳回起诉后，当事人是有权向人民检察院申请检察监督的，但需满足特定条件并遵循相应的程序。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。