结论：公司请工人不签合同，在符合法定解雇条件的情况下，公司可以解雇工人，但需承担未签劳动合同的法律责任；若不符合法定解雇条件，则公司不能随意解雇工人，否则可能面临违法解除劳动合同的法律后果。
分析：
未签劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，即使公司未与工人签订劳动合同，工人仍然享有劳动权益，且公司需承担支付双倍工资的法律责任。
解雇工人的法定条件：
- 公司解雇工人必须符合法定条件，如工人严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等。若公司无法证明工人存在上述情形，而随意解雇工人，则可能构成违法解除劳动合同。
- 在未签劳动合同的情况下，公司解雇工人同样需要遵循法定程序，如提前通知、支付经济补偿等（若符合支付经济补偿的情形）。
未签劳动合同与解雇的关系：
- 未签劳动合同本身并不构成公司解雇工人的合法理由。公司不能因为未与工人签订劳动合同就随意解雇工人。
- 若公司希望解雇未签劳动合同的工人，必须首先确保解雇行为符合法定条件，并遵循法定程序。否则，公司可能面临违法解除劳动合同的法律后果，包括支付赔偿金等。
建议：
对于公司：
- 应尽快与工人签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免法律风险。
- 在解雇工人时，务必确保解雇行为符合法定条件，并遵循法定程序，以避免违法解除劳动合同的法律后果。
对于工人：
- 若公司未与你签订劳动合同，你有权要求公司支付双倍工资。
- 若公司违法解雇你，你有权要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
可能法律后果：
- 若公司未签劳动合同且违法解雇工人，公司可能面临支付双倍工资、赔偿金以及可能的其他法律责任（如行政处罚等）。
- 若工人因此提起劳动仲裁或诉讼，公司可能需要承担额外的诉讼费用和时间成本。
总结：公司请工人不签合同并不能成为随意解雇工人的理由。公司必须遵循法定条件和程序来解雇工人，否则可能面临法律后果。若你或你所在的公司遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。