结论：当家里老人生病，您需要辞职或请假一个月而公司不批准时，您有权通过合法途径维护自己的权益。具体来说，您可以先尝试与公司沟通协商，若协商无果，可依次考虑寻求工会帮助、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。在整个过程中，保留好相关证据是至关重要的。
一、与公司沟通协商
提供详细病情及证明材料：
- 您需要向公司提供详细的病情说明，包括老人的病情、医生的诊断意见以及建议的休息时间等。
- 同时，附上医院出具的诊断证明、病历、病假条等材料，以证明您请假的紧迫性和真实性。
提出合理解决方案：
- 您可以与公司协商，提出如远程办公、调休等灵活的工作安排，以减少对工作的影响，并争取公司的理解和批准。
二、寻求工会帮助
- 如果您的公司有工会组织，您可以向工会反映情况，请求工会协助您与公司进行沟通，维护您的合法权益。
- 工会作为职工利益的代表，有责任和义务帮助职工解决劳动纠纷。
三、向劳动监察部门投诉
准备投诉材料：
- 您需要准备劳动合同、工资条、请假申请记录、病情证明等相关材料。
- 这些材料将作为您投诉的依据，证明公司不批准您请假的行为是不合理的。
提交投诉并等待处理：
- 将投诉材料提交给当地劳动监察部门，并说明事情经过和您的诉求。
- 劳动监察部门有权对用人单位遵守劳动法律法规的情况进行监督检查，并对违法行为进行查处。
四、申请劳动仲裁
准备仲裁材料：
- 如果劳动监察部门的处理未能解决问题，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 您需要准备充分的证据材料，包括医疗证明、请假申请记录、沟通记录等，以支持您的主张。
提交仲裁申请并等待裁决：
- 将仲裁申请及相关证据材料提交给劳动争议仲裁委员会。
- 仲裁委员会会根据双方提供的证据和陈述进行审理，并作出裁决。裁决具有法律效力，如果公司不执行，您可以向法院申请强制执行。
五、保留证据的重要性
- 在整个过程中，您务必保留好所有相关证据，包括医疗证明、请假申请记录、沟通记录等。
- 这些证据对于后续维权至关重要，它们将帮助您证明自己的合法权益，并在必要时作为法律诉讼的依据。
六、关于辞职的特别说明
- 如果您因为照顾老人而决定辞职，根据《中华人民共和国劳动法》的规定，您有权提前通知公司并解除劳动合同。
- 但需要注意的是，辞职并不意味着您可以立即离开工作岗位，您仍然需要按照公司的规定办理离职手续，并确保工作的交接和顺利进行。
七、后续行动建议
- 在处理完请假或辞职事宜后，建议您与公司保持良好沟通，确保工作的顺利进行和双方关系的和谐。
- 如果您在后续工作中遇到任何劳动纠纷或问题，都可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律建议和帮助。
总之，当家里老人生病需要请假或辞职而公司不批准时，您有权通过合法途径维护自己的权益。希望以上建议能对您有所帮助。