结论：当行政机关不履行其法定职责时，确实可以申请检察监督。

分析说明：

1. 检察监督的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，人民检察院有权对行政诉讼实行法律监督。这包括了对行政机关不履行法定职责的行为进行监督。当公民、法人或其他组织认为行政机关不依法履行、未按照约定履行或者违法变更、解除政府特许经营协议、土地房屋征收补偿协议等协议时，有权向人民法院提起诉讼，而人民检察院则有权对这类诉讼及行政机关的行为进行法律监督。

2. 申请检察监督的条件：

   • 申请人需要证明行政机关存在不履行法定职责的行为。这通常需要通过行政诉讼等法律途径来确认。
   • 在行政诉讼过程中或判决后，如果认为行政机关的行为仍然存在问题，可以向人民检察院申请检察监督。

3. 申请检察监督的流程：

   • 通常，申请人需要先向人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行其法定职责。
   • 如果人民法院的判决或裁定未能有效促使行政机关履行职责，或者申请人认为行政机关的行为存在其他违法情形，可以向人民检察院提出检察监督申请。
   • 人民检察院在收到申请后，会进行审查，并根据情况决定是否启动检察监督程序。

4. 检察监督的效力：

   • 一旦人民检察院决定启动检察监督程序，它有权对行政机关的行为进行调查、核实，并提出检察建议或抗诉等。
   • 检察建议或抗诉通常会对行政机关产生一定的法律压力，促使其履行法定职责或纠正违法行为。

行动建议：

• 如果您认为行政机关存在不履行法定职责的行为，首先建议通过行政诉讼等法律途径来维护自己的权益。
• 在行政诉讼过程中或判决后，如果问题仍未得到解决，可以向人民检察院申请检察监督。
• 在申请检察监督时，请确保提供充分的证据来证明行政机关的不作为或违法行为，以便人民检察院能够更有效地进行审查和监督。

法律后果：

• 如果人民检察院经过审查认为行政机关确实存在不履行法定职责的行为，它可能会提出检察建议或抗诉，这将对行政机关产生法律约束力，促使其履行职责或纠正错误。
• 如果行政机关仍然不履行职责或拒绝纠正错误，可能会面临更严重的法律后果，包括被强制执行、承担赔偿责任等。