结论：单位不履职时，一般可以申请上级监督履职，但具体操作和效果需结合实际情况判断。以下是详细分析：

1. 从行政监督角度
   若单位属于行政机关或受行政机关委托履行公共管理职能，根据《行政机关公务员处分条例》《政府督查工作条例》等规定，上级机关有权对下级机关的履职情况进行监督。例如：

   • 行政相对人可通过行政复议途径，要求上级机关审查下级机关的具体行政行为是否合法、合理；
     
   • 公民、法人或其他组织可依据《政府信息公开条例》，要求上级机关公开对下级机关的监督信息；
     
   • 部分地区设有行政效能投诉平台，可直接向上级部门反映下级单位不作为问题。
     关键点：需明确单位性质（行政/事业/企业），行政机关的监督程序更规范，企业或社会组织的监督需依据内部章程或合同约定。

2. 从内部管理角度
   若单位是国有企业、事业单位或社会团体，其内部管理机制可能包含上级对下级的监督条款。例如：

   • 国有企业章程中可能规定上级公司对下属企业的考核权、问责权；
     
   • 事业单位人事管理制度中可能包含对工作人员不履职的处分程序；
     
   • 行业协会章程中可能规定会员单位不履职时的惩戒措施。
     关键点：需查阅单位章程、合同或内部管理制度，确认上级监督的具体依据和程序。

3. 从法律救济角度
   若单位不履职直接损害公民、法人合法权益，可通过以下途径维权：

   • 行政诉讼：对行政机关不履职行为，可向法院提起行政诉讼，要求确认违法并责令履职；
     
   • 民事诉讼：对平等主体间（如企业与用户）的不履约行为，可依据合同约定提起民事诉讼；
     
   • 仲裁：若合同中约定仲裁条款，可通过仲裁机构解决争议。
     关键点：法律救济是最终手段，需优先通过行政监督或内部管理途径解决，以降低维权成本。

建议：

• 第一步：确认单位性质（行政/事业/企业）及不履职的具体表现（如拖延、拒绝、错误履职）；
  
• 第二步：查阅相关法律法规、单位章程或合同条款，明确上级监督的依据；
  
• 第三步：根据情况选择向上级部门书面反映、提起行政复议或法律诉讼。
  

如有具体案例或文件依据，可进一步向我提供细节，我会为您分析具体操作路径。