法定职责不履职是否需要提出申请，需分情况讨论：

1. 法定职责明确要求申请程序
   若法律、法规或规章明确规定，行政机关履行某项职责需以相对人提出申请为前提（例如行政许可、行政给付等），则相对人必须先提交合法有效的申请材料。此时若行政机关无正当理由拒绝受理或拖延处理，相对人可通过行政复议或行政诉讼主张权利。
   法律依据：根据《行政许可法》第三十二条，行政机关对申请材料不齐全的，应当场或五日内一次性告知补正内容；逾期不告知的，自收到申请材料之日起即为受理。

2. 法定职责属于行政机关主动履行范畴
   若法律明确规定行政机关应主动履行职责（例如环境监管、食品安全检查等），则无需相对人先行申请。此时若行政机关不作为，相对人可直接通过投诉、举报或诉讼途径督促其履职。
   典型案例：在“某环保组织诉环保局不履行监管职责案”中，法院认定环保局对辖区内污染企业负有法定巡查义务，无需以公民举报为前提。

3. 特殊情形下的申请义务
   部分职责虽以申请为启动条件，但存在例外：

   • 紧急情况：如突发公共卫生事件中，行政机关应主动启动应急预案，无需等待申请；
     
   • 明显违法状态：如违法建筑持续存在，行政机关可依职权直接查处。
     

实务建议：

• 保留书面申请记录（如邮寄凭证、系统提交截图），证明已履行催告程序；
  
• 若涉及紧急权益，可同步向上级机关或监察部门投诉；
  
• 诉讼时效一般自知道行政机关不履职之日起6个月内提出。
  

如有具体场景需要分析，可进一步说明情况，我将结合条文与案例为您详细解答。