当行政案件中检察院不支持监督申请时，当事人不能再次向检察机关提出申诉，但可以通过其他法律途径寻求救济。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定与救济途径
根据《人民检察院民事诉讼监督规则》的相关规定，当事人对人民检察院作出的不支持监督申请决定不服的，不能再次向检察机关提出申诉。这一规定明确了在检察院不支持监督申请的情况下，当事人不能通过申诉这一途径来改变检察院的决定。然而，这并不意味着当事人就完全失去了救济的机会，他们仍然可以通过其他法律途径来维护自己的权益。
二、具体救济措施
审查新证据与事实：
- 当事人应仔细审查是否有新的证据或事实能够证明原生效裁判存在错误。这包括但不限于新的书证、物证、证人证言等。
- 如果发现新的证据或事实，当事人可以考虑通过审判监督程序向法院申请再审。
向法院申请再审：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。
- 申请再审时，当事人需要提交再审申请书，并附上相关证据材料。这些证据材料应能够证明原生效裁判存在错误，或者符合再审的其他法定条件。
- 法院将对再审申请进行审查，如果符合再审条件，将依法启动再审程序。在再审程序中，当事人有机会提出新的证据和事实，以支持自己的主张。
寻求其他法律帮助：
- 当事人可以咨询专业律师，了解是否有其他可行的法律途径来维护自身权益。律师可以根据具体情况提供法律建议，并协助准备相关法律文书和材料。
- 例如，如果当事人认为原生效裁判存在违法情形，且该违法情形影响了裁判的公正性，他们可以考虑向相关监督机关提出投诉或举报。虽然这不一定能直接改变裁判结果，但可能促使相关机关对案件进行复查或纠正。
三、注意事项
- 在寻求救济的过程中，当事人应保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为。
- 当事人应充分了解并遵守相关法律法规和程序规定，确保自己的救济行为合法有效。
- 如果当事人对法律程序或救济途径存在疑问或困惑，应及时咨询专业律师或相关法律机构以获取帮助。
综上所述，当行政案件中检察院不支持监督申请时，当事人虽然不能再次向检察机关提出申诉，但仍然可以通过审查新证据与事实、向法院申请再审以及寻求其他法律帮助等途径来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。