当行政诉讼检查监督申请不予支持时，你可以从以下几个方面着手应对：

1. 了解不予支持的具体原因

   • 审查反馈：首先，仔细阅读监督机构或上级部门的回复意见，明确不予支持的具体原因。这些原因可能涉及证据不足、法律依据不充分、程序不合规等多个方面。例如，如果是因为证据不足，你需要明确是哪些证据缺失或不足以支持你的申请。
   • 沟通咨询：如果回复意见不够明确或存在疑问，可以主动与监督机构或上级部门进行沟通，进一步询问具体原因和依据。这有助于你更准确地了解问题所在，为后续行动提供方向。

2. 采取针对性措施

   • 补充完善材料：根据不予支持的原因，有针对性地补充和完善相关材料。如果是因为证据不足，应进一步收集相关证据，如文件、记录、证人证言等，并确保所有提交的材料真实、准确、完整。同时，按照要求整理成册，便于查阅和审核。
   • 调整申请策略：根据监督机构或上级部门的反馈意见，调整你的申请策略。突出关键问题和重点诉求，尝试从其他角度或层面提出监督申请，以增加获得支持的可能性。例如，如果原先的申请侧重于程序问题，而监督机构认为实体问题更为关键，那么你可以调整申请，加强对实体问题的阐述和论证。

3. 寻求法律帮助与支持

   • 咨询专业律师：作为专业律师，我可以协助你分析案件情况，提供法律建议，甚至代表你进行申诉或诉讼。如果你对法律条款或程序不熟悉，或者需要更深入的法律分析，可以向我咨询，我会根据你的具体情况给出专业的法律意见。
   • 利用法律援助资源：如果你经济困难或符合其他法律援助条件，可以寻求法律援助机构的帮助。他们可以提供免费的法律咨询和代理服务，帮助你更好地维护自己的合法权益。

4. 利用其他途径反映问题

   • 信访途径：如果申请监督不被支持，你还可以考虑通过信访途径反映问题。向相关部门提交信访材料，说明你的诉求和理由，并请求他们进行调查和处理。在信访过程中，要保持冷静和理性，避免情绪化的表达和行为。
   • 举报途径：如果你发现存在违法违规行为或不当操作，可以通过举报途径向相关部门反映。举报时，要提供充分的证据和线索，以便相关部门进行调查和处理。

5. 保持耐心和坚持

   • 理解处理流程：监督申请的处理需要一定的时间和程序，你要保持耐心并等待处理结果。不要急于求成或采取过激行为，以免影响案件的处理和结果。
   • 持续跟进：在处理过程中，可以适时向监督机构或上级部门了解进展情况。但要注意方式和方法，避免过度打扰或施加压力。同时，也要做好记录和备份工作，以便后续查询和参考。
   • 坚定信念：如果你坚信自己的监督申请是合理合法的，应坚持下去，不要轻易放弃。通过不断努力和争取，你可能会获得更好的结果和解决方案。

在处理此类问题时，你还需要注意遵守国家法律法规和相关规定，不得采取非法手段或行为。同时，也要保护好自己的个人隐私和合法权益，避免泄露敏感信息或受到不必要的伤害。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。