结论前置：不可以合法地要求工厂不交五险一金，工厂也不得同意员工不交五险一金的请求。

1. 从法律规定角度：

   • 根据我国《社会保险法》和《住房公积金管理条例》等相关法律法规，用人单位为劳动者缴纳社会保险（包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险，即“五险”）和住房公积金（“一金”）是法定义务，具有强制性。这意味着工厂必须按照规定为员工缴纳五险一金，员工也有权利享受这一保障。
   • 员工要求不交五险一金，实际上是放弃了法律赋予自己的权益，而工厂如果同意这一请求，则违反了法律规定，可能会面临劳动行政部门的处罚，包括但不限于罚款、责令补缴等。

2. 从员工权益角度：

   • 五险一金是员工的重要福利，它为员工提供了在年老、疾病、工伤、失业、生育等情况下依法获得物质帮助的权利。如果员工放弃缴纳五险一金，将失去这些保障，一旦遇到相关情况，可能会面临经济上的困难。
   • 此外，五险一金的缴纳也与员工的许多其他权益相关联，如购房资格、子女入学、积分落户等。不缴纳五险一金可能会影响员工在这些方面的权益。

3. 从实际操作角度：

   • 即使员工和工厂达成私下协议，不缴纳五险一金，这种协议也是无效的。因为违反了法律法规的强制性规定，不受法律保护。
   • 如果员工后续反悔或发现权益受损，仍然可以向劳动行政部门投诉或提起劳动仲裁，要求工厂补缴五险一金并承担相应的法律责任。

建议：作为员工，应该珍惜并维护自己的合法权益，不要轻易放弃五险一金的缴纳。如果工厂提出不缴纳五险一金的要求或建议，员工应该明确拒绝，并向劳动行政部门或相关机构寻求帮助。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。