结论：公司迟迟不通知签订无固定期限劳动合同，可能涉及违法，员工有权要求公司签订，并可依法维护自身权益。
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当员工在同一用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，员工提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这是法律对员工权益的一种保护，旨在防止用人单位通过不断签订固定期限劳动合同来规避对员工的长期责任。
二、公司不通知签订无固定期限劳动合同的可能原因及法律后果
公司疏忽或管理不善：
- 如果公司因为疏忽或管理不善而未及时通知员工签订无固定期限劳动合同，这并不构成免责事由。公司仍然需要承担未依法签订劳动合同的法律责任。
公司故意拖延或拒绝签订：
- 如果公司故意拖延或拒绝签订无固定期限劳动合同，这可能构成违法。员工有权要求公司立即签订，并可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
三、员工应如何应对
主动沟通：
- 员工可以主动与公司沟通，了解公司未通知签订无固定期限劳动合同的原因，并表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
收集证据：
- 员工应收集相关证据，如工作年限证明、劳动合同、工资单等，以证明自己符合签订无固定期限劳动合同的条件。
依法维权：
- 如果公司拒绝签订或拖延签订，员工可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。在投诉或仲裁过程中，员工需要提供充分的证据来证明自己的权益受到侵害。
四、可能的法律后果
公司被责令签订无固定期限劳动合同：
- 如果劳动监察部门或劳动仲裁机构认定公司未依法签订无固定期限劳动合同，公司可能被责令立即与员工签订无固定期限劳动合同。
公司支付双倍工资：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。如果公司未依法签订无固定期限劳动合同，且时间超过一个月，员工有权要求公司支付双倍工资。
其他法律责任：
- 根据具体情况，公司还可能面临其他法律责任，如赔偿员工因未签订劳动合同而遭受的损失等。
五、建议与提醒
- 员工在遇到此类问题时，应保持冷静，依法维权。不要采取过激行为或违法手段来维护自己的权益。
- 在与公司沟通或投诉、仲裁过程中，员工应保留好相关证据，以便在需要时提供证明。
- 如果员工对法律程序或相关规定不熟悉，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保护。
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