结论：劳务派遣员工患病期间，工资支付的责任主体主要是劳务派遣单位，但具体支付标准和方式可能因实际情况和劳务派遣协议的约定而有所不同。以下是对此问题的详细分析：
一、一般疾病或非因工负伤情况
工资支付责任主体：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位作为用人单位，应履行对劳动者的义务，包括在劳务派遣员工患病处于医疗期时，按照相关规定支付病假工资或疾病救济费。支付标准一般不低于当地最低工资标准的80%。
法律依据：
- 《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》明确了医疗期的计算和相应待遇，确保劳动者在患病期间的基本生活和医疗需求得到保障。
- 《劳动合同法》第五十八条也规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括支付劳动报酬。
实际操作：
- 劳务派遣员工在患病期间，应及时向劳务派遣单位报告病情，并按照单位要求提供医疗证明等相关材料。
- 劳务派遣单位应根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限，确定医疗期长度，并按照不低于当地最低工资标准的80%支付病假工资。
二、特殊情况及处理方式
劳务派遣协议约定：
- 如果劳务派遣单位与用工单位在劳务派遣协议中对患病期间工资的支付主体有明确且合法的约定，双方应按照协议执行。但此约定不能免除任何一方对劳务派遣员工应承担的法定责任。
派遣员工自身过错：
- 如劳务派遣员工因自身过错（如违反规章制度、故意犯罪等）导致无法正常工作并进入医疗期，用工单位或劳务派遣单位可根据具体情况和相关法律法规，对医疗期工资的支付进行合理调整。但支付的工资仍不得低于当地最低工资标准的80%。
工伤保险与社会保险：
- 如果劳务派遣员工患病与工作有关，且被认定为工伤，那么应按照工伤保险的相关规定处理。此时，工伤保险基金将支付符合工伤保险待遇项目和标准的费用，如医疗费用、康复费用等。而停工留薪期工资福利待遇等则由劳务派遣单位支付。
- 劳务派遣单位有义务为劳务派遣员工依法缴纳社会保险，包括基本医疗保险。员工患病需要治疗时，符合医疗保险报销范围的医疗费用由医疗保险基金按规定报销。
三、法律建议
对于劳务派遣员工：
- 在患病期间，应及时向劳务派遣单位报告病情，并按照要求提供医疗证明等相关材料。
- 了解自己的医疗期长度和病假工资支付标准，确保自己的合法权益得到保障。
- 如遇到工资支付问题，可与劳务派遣单位协商解决；协商不成的，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
对于劳务派遣单位和用工单位：
- 应在劳务派遣协议中明确约定患病期间工资的支付主体和方式，以避免纠纷的发生。
- 严格遵守相关法律法规，确保劳务派遣员工的合法权益得到保障。
- 如遇到工资支付纠纷，应积极与员工协商解决；协商不成的，应依法处理，避免矛盾升级。
总结：劳务派遣员工患病期间，工资支付的责任主体主要是劳务派遣单位。但具体支付标准和方式可能因实际情况和劳务派遣协议的约定而有所不同。因此，在处理此类问题时，应综合考虑相关法律法规和实际情况，确保劳务派遣员工的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。