结论：合同到期后，公司拖着不续签并没有一个固定的“最后期限”，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司应在合同到期前或到期后合理时间内与员工协商续签事宜，否则可能需承担相应法律责任。

分析：

1. 合同到期后的处理原则：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，双方均有权选择是否续签。若公司希望续签，应在合同到期前或到期后合理时间内与员工进行协商。
   • 若公司未在合理时间内提出续签，而员工继续在公司工作，则可能视为双方已按照原合同条件继续履行，形成事实劳动关系。但这种情况并不意味着公司可以无限期地拖延续签，因为长期不续签可能损害员工的权益，并可能引发法律纠纷。

2. 公司拖延续签的法律责任：

   • 如果公司无正当理由拖延续签，且员工因此遭受损失（如工资损失、社保断缴等），员工有权要求公司承担相应的赔偿责任。
   • 在某些情况下，如果公司拖延续签且未与员工达成续签协议，而员工继续在公司工作，公司可能需支付双倍工资作为赔偿（这通常适用于未签订书面劳动合同的情况，但具体情形需根据法律规定和实际情况判断）。不过，在合同到期后拖延续签的情境下，直接适用双倍工资赔偿的情况较为少见，更多是通过协商或法律途径解决争议。

3. 员工的应对措施：

   • 员工可以主动与公司沟通，了解公司不续签的原因，并尝试协商解决方案。
   • 如果公司无正当理由拒绝续签或拖延续签，员工可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果合同中明确约定了续签条款或期限，公司应严格遵守。否则，公司可能构成违约，需承担违约责任。
   • 在某些行业或地区，可能有特定的劳动法规或政策对合同续签有额外规定。员工在处理此类问题时，应了解并遵守相关法规和政策。

建议：

• 对于员工而言，如果合同即将到期且公司未提出续签，建议主动与公司沟通并了解情况。同时，保留好与公司的沟通记录和相关证据，以备不时之需。
• 如果公司无正当理由拖延续签或拒绝续签，员工应及时咨询专业律师（即向我咨询），了解自己的权益和可能的法律途径，以便采取适当的行动维护自己的合法权益。

总结：合同到期后公司拖着不续签并没有一个固定的“最后期限”，但公司应在合理时间内与员工协商续签事宜。如果公司无正当理由拖延或拒绝续签，员工有权要求公司承担相应的法律责任，并可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。