结论：公司不能仅因员工第一次劳动合同到期后20天还没续签，就单方面以到期不续签为由终止劳动合同。

分析如下：

1. 劳动合同到期后的处理原则：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，用人单位与劳动者可以协商续签劳动合同，也可以选择不续签。但关键在于，如果用人单位决定不续签，应当提前通知劳动者，并按照法律规定支付经济补偿金（如果适用）。
   • 若用人单位未提前通知且未支付经济补偿金，而直接以劳动合同到期为由终止劳动关系，可能构成违法终止，需要承担相应的法律责任。

2. 关于续签的宽限期：

   • 法律并未明确规定劳动合同到期后必须立即续签，也没有规定一个具体的“宽限期”内不续签就视为终止。因此，公司不能仅凭员工在劳动合同到期后20天未续签就单方面终止合同。
   • 实际上，这20天的时间可能因双方协商、内部审批流程等原因而延长，关键在于双方是否有继续履行劳动合同的意愿和实际行动。

3. 公司的正确做法：

   • 如果公司希望与员工续签劳动合同，应当及时与员工沟通，明确续签的意愿和条件，并办理续签手续。
   • 如果公司决定不续签，应当提前通知员工，并按照法律规定支付经济补偿金（如果员工在公司工作了一定年限且符合支付条件）。
   • 在任何情况下，公司都不能单方面以劳动合同到期未续签为由，未经合法程序就终止劳动关系。

4. 员工的权益保护：

   • 如果公司违法终止劳动合同，员工有权要求公司继续履行合同或者支付赔偿金。
   • 员工还可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

建议：

• 对于公司而言，应当严格遵守劳动合同法的相关规定，及时与员工沟通续签或终止劳动合同的事宜，避免不必要的法律纠纷。
• 对于员工而言，如果遇到公司违法终止劳动合同的情况，应当及时咨询专业律师（即向我咨询），了解自己的权益和维权途径。

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