当机关单位的劳务派遣人员在工作期间去世时，这是一个涉及法律责任、工伤认定及赔偿等多方面问题的复杂情况。以下是我为您详细梳理的处理流程和相关要点：

一、责任主体明确

1. 劳务派遣单位：作为用人单位，劳务派遣单位有责任为劳动者缴纳工伤保险等社会保障费用，并承担工伤保险责任。这意味着，在劳务派遣人员因工作原因去世时，劳务派遣单位是主要的赔偿义务方。

2. 用工单位：作为实际工作场所的提供者和管理者，用工单位有义务提供安全的工作环境。如果劳务派遣人员的去世是由于用工单位的安全管理疏忽或过失导致的，那么用工单位也需要承担相应的法律责任和赔偿责任。

二、工伤认定流程

1. 申请主体与时间：

   • 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果情况特殊，可以适当延长申请时间。
   • 如果劳务派遣单位未按时提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可以在1年内直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

2. 所需材料：

   • 工伤认定申请表；
   • 与用人单位存在劳动关系的证明材料，如劳动合同、工资发放记录、工作证等；
   • 医疗机构出具的受伤后诊断证明书或职业病诊断证明书（或鉴定书）。

三、赔偿项目及标准

1. 丧葬补助金：按照6个月的统筹地区上年度职工月平均工资的标准进行赔偿。

2. 供养亲属抚恤金：根据职工本人工资的一定比例，发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。具体比例为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿每人每月增加10%。但需要注意的是，核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。

3. 一次性工亡补助金：按照上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍进行赔偿。

四、争议解决途径

1. 协商：双方可以自行沟通，就赔偿事宜达成一致意见。

2. 调解：如果协商不成，可以向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或具有劳动争议调解职能的组织申请调解。

3. 仲裁：如果调解不成或达成调解协议后不履行，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

4. 诉讼：如果对仲裁裁决不服，除法律另有规定外，可以向人民法院提起诉讼。

五、实际操作建议

在处理这类问题时，我建议您尽快联系专业律师团队进行详细调查，以准确判断责任归属和赔偿标准。同时，积极与劳务派遣单位和用工单位进行协商沟通，寻求合理解决方案，确保死者家属的合法权益得到维护。通过明确责任主体、依法进行工伤认定、准确计算赔偿项目及标准，并妥善解决争议，可以有效保障各方权益，促进问题得到公正、合理的解决。