在对方起诉离婚的过程中，您方确实有权提出关于抚养权的诉求，这通常是通过反诉或另行提起抚养权纠纷诉讼的方式来实现的。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、法律背景与依据
在离婚诉讼中，抚养权是一个重要的争议点。根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释的规定，父母对子女有抚养、教育、保护的权利和义务。离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。同时，法律也允许在离婚过程中或离婚后，就抚养权问题提出变更或重新确定的请求。
二、提出抚养权诉求的方式
在离婚诉讼中提出反诉：
- 如果对方在离婚诉讼中提出了关于抚养权的诉求，您方可以在答辩中提出自己的抚养权主张，或者通过反诉的方式明确提出您方对抚养权的诉求。
- 反诉应当与本诉（即对方的离婚诉讼）有牵连关系，且您方需要提供充分的证据来支持自己的抚养权主张。
另行提起抚养权纠纷诉讼：
- 如果对方在离婚诉讼中未提出抚养权诉求，或者您方希望更独立地处理抚养权问题，您方可以在离婚诉讼进行的同时或之后，另行向法院提起抚养权纠纷诉讼。
- 在另行提起的诉讼中，您方需要明确自己的诉讼请求，即要求法院判决子女由您方抚养，并提供相应的证据来支持自己的主张。
三、提出抚养权诉求时需要考虑的因素
子女的利益：
- 法院在判决抚养权时，会优先考虑子女的利益，包括子女的年龄、健康状况、成长环境等。
- 您方需要证明自己能够为子女提供更好的成长环境和教育条件。
双方的抚养能力和条件：
- 法院会评估双方的抚养能力和条件，包括经济状况、居住条件、教育背景等。
- 您方需要提供充分的证据来证明自己具备抚养子女的能力和条件。
子女的意愿：
- 如果子女已满八周岁，法院会尊重子女的意愿，并考虑其选择。
- 您方可以与子女沟通，了解其意愿，并在诉讼中向法院说明。
四、法律建议
收集证据：
- 在提出抚养权诉求前，您方需要收集充分的证据来支持自己的主张，包括经济状况证明、居住条件证明、教育背景证明等。
- 如果可能的话，还可以收集子女意愿的证明，如子女的书面陈述或录音录像等。
咨询专业律师：
- 虽然我在这里为您提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都是独特的。
- 因此，我建议您在提出抚养权诉求前，直接向我咨询，以便我能根据您的具体情况提供更详细、更专业的法律建议。
保持冷静和理性：
- 离婚和抚养权纠纷都是情感复杂的问题，但您方需要保持冷静和理性，以便更好地处理这些问题。
- 避免在诉讼过程中采取过激行为或发表不当言论，以免对子女的成长和您的诉求产生不利影响。
总之，在对方起诉离婚的过程中，您方有权提出关于抚养权的诉求。为了更好地维护自己的权益和子女的利益，我建议您在提出诉求前充分了解相关法律知识，收集充分的证据，并直接向我咨询以获取更专业的法律建议。