结论：在对方起诉要求支付抚养费的情况下，您确实有权提出变更抚养权的请求，但能否成功变更抚养权，取决于您能否证明自己更适合抚养孩子，以及原抚养方存在不利于孩子成长的情形。

详细分析：

1. 抚养权与抚养费的关系：

   • 抚养权是指父母对子女进行抚养、教育、保护的权利和义务。
   • 抚养费则是非直接抚养方为子女提供的生活、教育等费用。
   • 两者虽然相关，但并非相互依赖。即，支付抚养费是父母的义务，不因抚养权的变更而免除；同样，抚养权的变更也不必然导致抚养费支付义务的变更（除非法院重新判决）。

2. 变更抚养权的条件：

   • 根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，变更抚养权通常需要满足以下条件之一：
     • 与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女；
     • 与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；
     • 十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；
     • 有其他正当理由需要变更。
   • 在您的情况下，若您能证明原抚养方存在上述不利于孩子成长的情形，或者您自身条件更优越（如经济状况、生活环境、教育能力等），则有可能成功变更抚养权。

3. 法律程序与证据收集：

   • 若您决定提出变更抚养权的请求，应向法院提起诉讼，并提交相关证据证明您的主张。
   • 证据可能包括：原抚养方的经济状况、生活环境、教育能力等方面的不足；您自身的优势条件；孩子的意愿（如果孩子已具备一定表达能力）；以及其他相关证据（如医疗记录、学校表现等）。

4. 可能的结果与后续行动：

   • 如果法院认为您的请求合理且证据充分，可能会判决变更抚养权。
   • 如果法院未支持您的请求，您仍需履行支付抚养费的义务，但您可以继续关注孩子的生活状况，并在必要时再次提出变更抚养权的请求。
   • 无论结果如何，您都应保持与孩子的良好沟通，关注孩子的成长需求，为孩子提供必要的关爱和支持。

建议：

• 在提出变更抚养权的请求前，建议您先咨询专业律师（即我，顾晨骋律师），了解具体的法律程序和证据要求。
• 收集并整理相关证据，确保您的主张有充分的事实依据。
• 保持冷静和理性，以孩子的最佳利益为出发点，避免情绪化的决策和行动。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。