结论：员工入职12天离职且未签订劳动合同、未购买社保的行为，用人单位涉嫌违法，需承担相应法律责任。以下从劳动合同签订、社保缴纳两个核心义务展开分析：

一、未签订劳动合同：违反《劳动合同法》第十条、第八十二条

根据《劳动合同法》第十条规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当自用工之日起1个月内订立书面劳动合同。员工入职12天虽未满1个月，但若用人单位在用工之日起1个月内仍未签订合同，则自第2个月起需支付双倍工资差额（即每月支付2倍工资，其中1倍为正常工资，另1倍为惩罚性赔偿）。
例外情形：若员工拒绝签订合同，用人单位需在1个月内书面通知终止劳动关系，否则仍需支付双倍工资。但本案中员工已主动离职，用人单位未举证证明“员工拒绝签订”的，仍需承担违法风险。

二、未缴纳社保：违反《社会保险法》第五十八条、第八十六条

根据《社会保险法》第五十八条规定，用人单位应当自用工之日起30日内为职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。员工入职12天虽未满30日，但若用人单位在用工之日起30日内仍未缴纳社保，则社保行政部门可责令限期缴纳或补足，并自欠缴之日起按日加收万分之五的滞纳金；逾期仍不缴纳的，由社保行政部门处欠缴数额1倍以上3倍以下罚款。
实务提示：即使员工离职，用人单位仍需为其补缴在职期间的社保（费用由单位和个人按比例承担），否则可能面临行政处罚及员工投诉。

三、员工可主张的权利及用人单位应对建议

1. 员工权利：

   • 要求用人单位补缴在职期间的社保；
     
   • 若后续入职新单位，可要求原单位配合办理社保转移手续；
     
   • 若因未缴社保导致无法享受社保待遇（如医疗报销），可要求用人单位赔偿损失。
     

2. 用人单位建议：

   • 立即与员工补签劳动合同（注明入职日期及合同期限），避免后续纠纷；
     
   • 尽快为员工补缴社保，降低行政处罚风险；
     
   • 完善入职流程，确保在1个月内完成合同签订及社保申报。

总结：用人单位在员工入职后未及时签订合同、缴纳社保的行为，即使员工在职时间较短，仍可能面临法律责任。建议用人单位严格遵守劳动法规，避免因程序瑕疵引发纠纷。如有进一步疑问，可直接向我咨询。