结论：员工入职31天，用工单位决定辞退且未签署劳动合同，这一行为是违法的。

分析如下：

1. 未签署劳动合同的违法性：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。这是法律的强制性规定，旨在保护劳动者的合法权益，明确双方的权利和义务。
   • 在您描述的情况下，员工已经入职31天，但用工单位仍未与其签署劳动合同，这明显违反了上述法律规定。

2. 辞退员工的合法性考量：

   • 辞退员工需要符合法律规定的条件和程序。如果用工单位没有合法理由或未按照法定程序辞退员工，那么这一行为也是违法的。
   • 在您的情况下，由于用工单位未签署劳动合同，且未说明辞退的具体理由和程序，因此很难判断其辞退行为是否合法。但可以明确的是，未签署劳动合同本身已经构成了违法。

3. 可能的法律后果：

   • 对于未签署劳动合同的行为，用工单位可能需要向员工支付双倍工资作为赔偿。这是根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 如果用工单位的辞退行为被认定为违法，那么员工还有权要求用工单位支付经济补偿金或赔偿金，具体数额根据辞退的原因和员工的工龄等因素确定。

建议：

• 作为员工，您可以首先与用工单位进行协商，要求其签署劳动合同并支付因未签署劳动合同而应得的赔偿。
• 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议您保留好相关证据，如工作证、工资单、考勤记录等，以便在需要时提供证明。

如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。