结论：公司补充协议不签的情况下，公司解除劳动合同是否会给补偿金或赔偿金，这取决于公司解除劳动合同的合法性及具体情形。以下分情况详细说明：
公司合法解除劳动合同：
- 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，如果公司因劳动者存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等法定情形而解除劳动合同，且公司能够证明这些情形的存在，那么公司解除劳动合同是合法的。
- 法律后果：在这种情况下，公司无需支付经济补偿金或赔偿金。因为劳动者的行为已经构成了对劳动合同的严重违反，公司有权依法解除劳动合同，且不承担任何经济赔偿责任。
公司违法解除劳动合同：
- 法律依据：如果公司无法证明劳动者存在上述法定解除情形，或者解除劳动合同的程序不合法（如未提前通知、未听取劳动者意见等），那么公司解除劳动合同就是违法的。
- 法律后果：
- 经济补偿金：根据《劳动合同法》的规定，公司违法解除劳动合同的，劳动者有权要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常按照劳动者在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金：在某些情况下，如果公司的违法行为给劳动者造成了损失，劳动者还可以要求公司支付赔偿金。赔偿金的数额通常根据劳动者的实际损失来确定，但一般不超过经济补偿金的两倍。不过，在违法解除劳动合同的情形下，劳动者通常更倾向于要求支付经济补偿金的两倍作为赔偿金（即通常所说的“2N”赔偿），但这需要具体看当地司法实践和法院判决。
关于补充协议不签的影响：
- 补充协议通常是劳动合同的补充或变更，如果劳动者拒绝签订补充协议，但原劳动合同仍然有效且双方继续履行，那么公司不能仅因劳动者拒绝签订补充协议而解除劳动合同。
- 如果补充协议涉及劳动合同的实质性变更（如工作内容、工作地点、劳动报酬等），且劳动者拒绝签订，公司可能需要与劳动者协商解决或按照原劳动合同继续履行。如果公司因此解除劳动合同，需要评估解除的合法性及是否需要支付经济补偿金或赔偿金。
建议：
- 如果您面临公司要求签订补充协议但您不愿签订的情况，建议先与公司沟通了解补充协议的具体内容，并评估其对自身权益的影响。
- 如果公司因此解除劳动合同，您有权要求公司说明解除的理由和依据，并评估解除的合法性。
- 如果您认为公司解除劳动合同是违法的，或者公司拒绝支付经济补偿金或赔偿金，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
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