在满足一定条件下，第三次与单位续签劳动合同时，劳动者确实有权提出签订无固定期限劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：
法律依据与条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件时，劳动者在第三次续签劳动合同时有权提出签订无固定期限劳动合同：
连续订立二次固定期限劳动合同：这意味着劳动者已经与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，这是签订无固定期限劳动合同的前提条件之一。
劳动者无过失性辞退情形：劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度等过失性辞退情形，以及第四十条第一项（因病或非因工负伤不能胜任工作）和第二项（不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任）规定的情形。这是确保劳动者在签订无固定期限劳动合同时，其权益不会因自身过失而受到损害。
劳动者提出或无反对意见：劳动者需要提出续订劳动合同或者同意续订劳动合同，并且没有主动提出要订立固定期限劳动合同。这是劳动者行使选择权的重要体现。
特殊情况
除了上述条件外，还有两种特殊情况下，劳动者也有权提出签订无固定期限劳动合同：
劳动者连续工作满十年：在同一用人单位连续工作满十年的劳动者，无论是否已经签订过固定期限劳动合同，都有权提出签订无固定期限劳动合同。
特定情形下的连续工作满十年：在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，也应签订无固定期限劳动合同。这是对特定历史背景下劳动者的特殊保护。
法律责任与协商原则
法律责任：如果用人单位在符合上述条件的情况下拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，可能面临支付双倍工资等法律责任。这是为了保障劳动者的合法权益，防止用人单位滥用其优势地位。
协商原则：尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果劳动者在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。这体现了合同法的自愿原则。
实际操作建议
了解自身权益：劳动者在续签劳动合同时，应充分了解自己的权益和法律规定，确保自己的选择符合法律要求。
与用人单位沟通：在续签前，劳动者可以与用人单位进行沟通，明确自己的意愿和期望，以便双方能够达成一致意见。
保留相关证据：在续签过程中，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、续签意向书等，以便在发生争议时能够证明自己的权益。
总结来说，第三次与单位续签劳动合同时，劳动者在满足一定条件下有权提出签订无固定期限劳动合同。然而，具体还需根据双方的协商结果以及劳动者的意愿来确定。如果你在续签过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。