结论前置：在合同到期未续签但劳动者继续工作的情况下被公司辞退，劳动者有权根据具体情况主张相应的经济补偿或赔偿金。以下是详细分析：
一、事实劳动关系的法律认定
劳动合同期满后，若劳动者仍在原用人单位工作且用人单位未提出异议，根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，这视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，即形成事实劳动关系。在此期间，劳动者享有与正常劳动合同关系下相同的劳动权益。
二、公司辞退行为的合法性分析
合法辞退：
- 若公司能证明劳动者存在严重违反规章制度、严重失职等《中华人民共和国劳动合同法》规定的可解除劳动合同的法定情形，并且提供充分证据支持，其辞退行为可能合法，无需支付经济补偿或赔偿金。但公司需对解除的合法性承担举证责任。
违法辞退：
- 若公司无上述法定理由而随意辞退劳动者，如仅因经营方向调整或岗位需求变化，未与劳动者协商一致即直接辞退，则构成违法解除劳动关系。此时，劳动者有权要求公司支付赔偿金。
三、劳动者可主张的权益
经济补偿（针对合法辞退且符合支付经济补偿情形的）：
- 若合同到期公司不续签，且辞退行为合法（如双方协商一致或劳动者存在过错），公司应按劳动者工作年限支付经济补偿。计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月平均工资。其中，工作年限每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资。
赔偿金（针对违法辞退的）：
- 若公司违法辞退劳动者，劳动者可要求公司支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿的二倍，即：赔偿金 = 工作年限 × 月平均工资 × 2。
未签书面劳动合同的双倍工资差额：
- 合同到期后未续签但继续工作的，从合同到期次月起，劳动者可要求公司支付双倍工资差额。计算公式为：双倍工资差额 = 月平均工资 × 未签合同月数（最多11个月）。但需注意仲裁时效问题，一般应在知道或应当知道权益受损之日起一年内提出。
四、维权途径与建议
协商解决：
- 首选与公司友好协商，明确法律依据，争取合理补偿或赔偿。在协商过程中，劳动者应保留好相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
劳动监察投诉：
- 协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉，由其对公司违法行为进行调查处理。劳动监察部门有权对公司进行罚款、责令改正等处罚。
劳动仲裁：
- 若投诉无果，劳动者可直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁裁决具有法律效力，公司不履行时可向法院申请强制执行。在申请仲裁时，劳动者需提交仲裁申请书、证据材料等。
诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，劳动者可在规定时间内向人民法院提起诉讼。通过司法途径进一步维护自身权益。在诉讼过程中，劳动者需遵守法庭纪律，积极配合法院审理工作。
五、注意事项
证据收集：
- 在整个过程中，劳动者应妥善收集和保留相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等。这些证据对于支持劳动者的主张至关重要。
时效问题：
- 劳动者在主张双倍工资差额时，需注意仲裁时效问题。一般应在知道或应当知道权益受损之日起一年内提出仲裁申请。逾期可能丧失胜诉权。
地方规定差异：
- 部分地区对双倍工资差额的支持期限或条件有差异（如北京最多支持12个月）。劳动者在维权前应了解当地的具体规定。
示例说明：假设某员工合同于2023年1月1日到期，继续工作至2023年12月被辞退，且未续签合同。若公司违法辞退，该员工可主张的赔偿金为：工作年限（假设为2年）× 月平均工资（假设为5000元）× 2 = 20000元。同时，该员工还可主张2023年2月至2023年12月的双倍工资差额（具体数额需根据实际工资计算）。
面对合同到期未续签但被辞退的情况，劳动者应冷静应对，明确自身权益，采取合适措施维权。在整个过程中，注重证据收集与保留至关重要。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。