在保险代位赔偿的情境下，关于“自己的保险公司是否会起诉对方”的问题，我可以给您一个详细且清晰的解答。
首先，我们需要明确保险代位求偿权的概念。当您的车辆或其他保险标的因第三方的损害行为（即全责方）导致保险事故发生并遭受损失时，您有权向自己的保险公司申请先行赔付。保险公司在按照保险合同约定向您支付赔款后，即取得了代位求偿权。这意味着，保险公司现在有权在赔偿金额范围内，代替您向全责方进行追偿。
关于保险公司是否会起诉全责方：
通常情况：在大多数情况下，保险公司会积极行使代位求偿权，以自己的名义向法院提起诉讼，要求全责方承担相应的赔偿责任。这是因为保险公司已经承担了本应由全责方承担的赔偿责任，为了弥补自身的损失，必须依据法律规定进行追偿。
专业与效率优势：保险公司作为专业的保险机构，拥有丰富的法律知识和诉讼经验。它们能够更有效地维护自身的合法权益，并通过集中专业的法律资源和力量，提高诉讼的效率和成功率。
特殊情况：尽管在大多数情况下是由保险公司起诉全责方，但也存在一些特殊情况。例如，如果保险公司在代位赔偿后未能完全弥补您的损失，您仍然有权就剩余部分损失向全责方另行起诉。另外，如果保险公司未积极行使代位求偿权，您也可以保留自己起诉全责方的权利。
法律依据：
根据《中华人民共和国保险法》的相关规定，因第三者对保险标的的损害而造成保险事故的，保险人（即保险公司）自向被保险人（即您）赔偿保险金之日起，在赔偿金额范围内代位行使被保险人对第三者请求赔偿的权利。这一条款明确赋予了保险公司在履行赔付义务后代位追偿的法律地位。
结论：
综上所述，在保险代位赔偿制度下，保险公司代位赔偿后通常会作为原告起诉全责方以追偿损失。这是保险公司的权利，也是其为了弥补自身损失而必须采取的行动。然而，在特定情况下（如保险公司未能完全弥补您的损失或未积极行使代位求偿权），您也可能保留起诉全责方的权利。在实际操作中，建议您根据具体情况和法律规定进行判断和处理，以确保您的权益得到妥善保护。