在保险代位求偿的情境下，关于保险公司是否会起诉责任方的问题，这确实是一个涉及保险法、合同法和诉讼程序等多个法律领域的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、保险公司代位求偿权的法律基础
根据《保险法》的相关规定，当被保险人因第三方（即全责方）的损害行为导致保险事故发生并遭受损失时，被保险人有权向自己的保险公司申请先行赔付。保险公司在按照保险合同约定向被保险人支付赔款后，即取得代位求偿权。这意味着，保险公司有权在赔偿金额范围内，以自己的名义向全责方进行追偿，包括通过法律途径提起诉讼。
二、保险公司起诉全责方的必要性
保险公司通过代位赔偿已经承担了本应由全责方承担的赔偿责任。为了弥补自身的损失，并确保保险市场的公平与正义，保险公司必须依据法律规定起诉全责方，要求其承担相应的赔偿责任。这是保险公司行使代位求偿权的直接体现，也是维护保险市场秩序和保障被保险人权益的重要手段。
三、保险公司起诉全责方的优势
专业优势：保险公司作为专业的保险机构，拥有丰富的法律知识和诉讼经验。这使得保险公司在起诉全责方时，能够更有效地维护自身的合法权益，提高诉讼的效率和成功率。
资源优势：保险公司集中了专业的法律资源和力量，包括律师团队、法律顾问等。这些资源为保险公司提供了强大的支持，确保追偿工作的顺利进行。
四、特殊情况下的被保险人权利
尽管在大多数情况下是由保险公司起诉全责方，但在某些特殊情况下，被保险人也可能保留起诉全责方的权利。例如：
如果保险公司在代位赔偿后，未能完全弥补被保险人的损失，被保险人可以就剩余部分损失向全责方另行起诉。
若因保险公司与被保险人之间的纠纷或其他原因，导致保险公司未积极行使代位求偿权，被保险人可以保留自己起诉全责方的权利。
五、实际操作中的注意事项
在实际操作中，保险公司通常会首先尝试与全责方进行协商或调解，以达成赔偿协议。这种方式相对灵活、高效，能够节省时间和成本。如果协商或调解无果，保险公司才会选择通过法律途径来维护自己的权益，包括向法院提起诉讼。
结论：
综上所述，在保险代位求偿制度下，保险公司代位赔偿后通常有权作为原告起诉全责方以追偿损失。这是保险公司行使代位求偿权的直接体现，也是维护保险市场秩序和保障被保险人权益的重要手段。然而，在特定情况下，被保险人也可能保留起诉全责方的权利。在实际操作中，应根据具体情况和法律规定进行判断和处理，以确保各方权益得到妥善保护。如果您作为被保险人或全责方涉及此类纠纷，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。