结论：职工上班期间心梗意外死亡，企业是否有赔偿责任，需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤。若构成工伤，企业需承担相应赔偿责任；若不构成，企业一般无需承担赔偿责任，但可能需承担一定人道主义补偿责任。

详细分析：

1. 构成工伤的情况：

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。心梗属于突发疾病的一种，若职工在上班期间心梗发作并死亡，或者在48小时之内经抢救无效死亡，那么这种情况应被视同为工伤。
   • 企业责任：一旦构成工伤，企业就需要按照《工伤保险条例》的规定，承担相应的赔偿责任。这包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。具体标准根据当地上年度职工月平均工资和职工本人工资等因素确定。

2. 不构成工伤的情况：

   • 法律依据：如果职工心梗发作并非在工作时间和工作岗位，或者虽然在工作岗位但并非突发疾病导致死亡（例如，职工本身就有严重的心脏病，且在非工作时间或非工作岗位发病，只是送到医院后死亡），那么这种情况可能不构成工伤。
   • 企业责任：在不构成工伤的情况下，企业一般无需承担赔偿责任。但是，从人道主义角度出发，企业可能会给予一定的经济补偿或慰问金，但这并非法律义务，而是企业自愿行为。

额外建议：

• 及时申请工伤认定：如果职工家属认为职工的情况构成工伤，应及时向企业所在地的社会保险行政部门提出工伤认定申请。这是后续享受工伤保险待遇的前提。
• 保留相关证据：在处理此类事件时，应保留好相关的医疗记录、工作记录等证据，以便在需要时证明职工的情况是否构成工伤。
• 协商与调解：如果企业与职工家属之间就赔偿责任问题存在争议，可以通过协商或调解的方式解决。这有助于减少双方的对立情绪，促进问题的妥善解决。

可能后果：

• 若构成工伤：企业需按照法律规定支付相应的工伤保险待遇，否则可能面临法律诉讼和行政处罚。
• 若不构成工伤：企业虽无需承担法律赔偿责任，但可能因处理不当而引发职工家属的不满和舆论压力，影响企业形象和声誉。

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