结论：您工作20多天被辞退且未签合同的情况是否合法，需分情况讨论。若用人单位无合法理由辞退您，则属于违法解除劳动关系；若存在合法理由，则可能合法。同时，未签合同本身违反了法律规定，您有权主张相应的权益。

详细分析：

1. 关于辞退的合法性：

   • 违法解除：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法理由，并遵循法定程序。如果用人单位无法提供充分证据证明您存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等情形，那么其辞退您的行为可能构成违法解除劳动关系。在此情况下，您有权要求用人单位支付违法解除劳动关系的赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，即按照您的工作年限（不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）乘以月工资再乘以2来计算。不过，由于您工作未满一个月，经济补偿金可能按实际工作天数折算，但赔偿金的具体数额还需结合实际情况和当地司法实践来确定。
   • 合法解除：如果用人单位能够证明您存在上述合法解除的情形，或者您主动提出离职，那么其辞退您的行为可能是合法的，此时您可能无法获得赔偿金。

2. 关于未签合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您工作未满一个月，但这一规定体现了法律对未签合同行为的严厉打击态度。在实际操作中，如果您继续工作超过一个月而仍未签合同，您就有权主张双倍工资。不过，就您目前的情况而言，虽然未签合同，但工作未满一个月，可能无法直接主张双倍工资，但您可以此作为与用人单位协商或后续维权的一个点。
   • 更重要的是，未签合同意味着您与用人单位之间的劳动关系缺乏明确的书面约定，这可能在后续维权时增加一定的难度。因此，我建议您尽快与用人单位协商签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。

3. 建议行动：

   • 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行友好协商，了解辞退的具体原因，并争取获得合理的补偿。同时，您可以提出签订书面劳动合同的要求，以保障自己的合法权益。
   • 收集证据：如果协商无果，您需要开始收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位之间存在事实劳动关系。这些证据将在后续的维权过程中发挥重要作用。
   • 申请劳动仲裁：如果用人单位拒绝支付赔偿金或拒绝签订书面劳动合同，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提交相关证据来支持自己的主张，并遵循仲裁程序的规定。
   • 寻求法律援助：如果您在维权过程中遇到困难或不确定如何操作，可以寻求专业律师的法律援助。律师将能够为您提供专业的法律建议和指导，帮助您更好地维护自己的合法权益。

后续思考：在处理此类劳动纠纷时，保持冷静和理性至关重要。同时，了解并运用相关法律法规来维护自己的合法权益也是必不可少的。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。