结论：即使未与员工签订劳动合同，若员工做出损害公司利益的行为，公司仍有可能辞退该员工，但需满足一定条件并遵循合法程序。
分析：
未签订劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这并不意味着用人单位不能辞退员工，只是需要承担未签订劳动合同的法律责任。
辞退员工的合法理由：
- 若员工做出损害公司利益的行为，如泄露商业秘密、贪污受贿、严重违反公司规章制度等，公司有权依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以“严重违反用人单位的规章制度”或“严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害”等为由，辞退该员工。
辞退员工的程序要求：
- 公司在辞退员工前，应确保有充分的证据证明员工存在损害公司利益的行为。
- 辞退决定应基于合法、合理的规章制度，且该规章制度应已向员工公示或告知。
- 辞退过程应遵循法定程序，如提前通知员工、听取员工申辩、办理离职手续等。若员工对辞退决定有异议，公司应提供合理的解释和证据。
未签订劳动合同对辞退的影响：
- 未签订劳动合同本身并不构成辞退员工的合法理由，但不影响公司基于员工损害公司利益的行为而辞退员工。
- 然而，由于未签订劳动合同，公司在辞退员工时可能面临更多的法律风险和纠纷，如员工可能主张未签订劳动合同的双倍工资、违法解除劳动合同的赔偿金等。
建议：
- 完善劳动合同管理：公司应尽快与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以减少法律风险和纠纷。
- 建立健全规章制度：公司应制定合法、合理的规章制度，并确保员工已知晓并遵守。这有助于公司在辞退员工时有明确的依据和程序。
- 收集并保留证据：若员工存在损害公司利益的行为，公司应及时收集并保留相关证据，如监控录像、聊天记录、财务记录等，以便在辞退员工时提供有力的支持。
- 遵循法定程序：公司在辞退员工时，应严格遵循法定程序，确保辞退决定的合法性和合理性。若员工对辞退决定有异议，公司应积极应对并妥善处理。
可能后果：
- 若公司未遵循法定程序辞退员工，可能面临违法解除劳动合同的法律责任，如支付赔偿金等。
- 若员工主张未签订劳动合同的双倍工资等权益，公司可能需承担相应的法律责任。
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