您在私营企业工作16年未签劳动合同、未交社保，生病后被解雇，可依法获得以下赔偿及权益保障：

1. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额（已过时效部分不再支持）
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未签订书面劳动合同的，应支付双倍工资。但双倍工资差额的仲裁时效为1年，自用工满1年的次日起计算。您已工作16年，该权利已过时效，无法主张此部分赔偿。

2. 视为已订立无固定期限劳动合同的权益
   根据《劳动合同法》第14条，用人单位自用工之日起满1年未签订书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。您虽未签合同，但法律上已视为存在无固定期限劳动关系，单位无合法理由不得随意解雇。

3. 违法解除劳动合同的赔偿金（2N）
   若单位以“生病”为由解雇您，需满足《劳动合同法》第40条的法定情形（如医疗期满后不能从事原工作且无法安排其他工作），并提前30日通知或支付代通知金。若单位未履行法定程序或无合法理由解雇，属于违法解除，您可主张赔偿金：

   • 计算标准：按工作年限支付经济补偿金的2倍（即2N）。
     
   • 经济补偿金基数：解除前12个月的平均工资（若低于当地最低工资标准，按最低工资计算）。
     
   • 您可获赔偿：16年×2×月工资=32个月工资。

4. 未缴纳社保的补缴及医疗费用报销

   • 社保补缴：单位未缴纳社保的，您可向当地社保部门投诉，要求单位补缴工作期间的社保（包括养老、医疗、失业等）。
     
   • 医疗费用报销：若因未缴社保导致无法享受医保待遇，您可要求单位赔偿因无法报销产生的医疗费用损失（需提供医疗费票据等证据）。

5. 医疗期内的病假工资及医疗待遇

   • 医疗期：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，您可享受3-24个月的医疗期（具体期限根据工龄和当地规定确定）。
     
   • 病假工资：医疗期内，单位应支付病假工资，标准为当地最低工资的80%（具体比例可能因地区而异）。
     
   • 医疗待遇：若单位已补缴社保，您可享受医保报销；若未补缴，单位需承担医疗费用。

6. 失业保险待遇（若符合条件）
   若单位未缴纳失业保险导致您无法领取失业金，您可要求单位赔偿失业金损失（需满足非本人意愿中断就业等条件）。

行动建议：

1. 收集证据：工资条、工作证、考勤记录、医疗证明等证明劳动关系及工作年限的材料。
   
2. 向单位书面主张权益：要求补缴社保、支付赔偿金及医疗费用等。
   
3. 申请劳动仲裁：若单位拒绝，可在1年内向劳动仲裁委员会申请仲裁，主张违法解除赔偿金、社保补缴等。
   
4. 投诉社保部门：向当地社保局投诉单位未缴社保问题，要求补缴。
   

提示：医疗期、赔偿金计算等可能因地区政策差异，建议尽快咨询律师或当地劳动部门以精准维权。如有进一步问题，可直接向我提问。