结论：乘坐出租车受伤，出租车负事故次要责任时，一般不可以起诉出租车赔偿全部经济损失，但存在特殊情况可能支持全部赔偿诉求。以下为你详细分析：

一般情况：按责任比例赔偿

在交通事故中，责任的划分是确定赔偿比例的重要依据。当出租车被认定为负事故次要责任时，意味着在事故的发生中，出租车一方存在一定过错，但并非全部过错。根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十三条规定：“机动车发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足部分，由承保机动车商业保险的保险人按照保险合同的约定予以赔偿；仍然不足或者没有投保机动车商业保险的，由侵权人赔偿。”

通常情况下，赔偿会按照事故责任比例来确定。例如，如果事故中出租车负 30%的责任，那么对于你的经济损失，出租车一方（包括其保险公司）一般只需承担 30%的赔偿责任，剩余 70%的损失需要由其他责任方（如对方车辆驾驶员等，如果对方有责任的话）来承担。如果对方车辆驾驶员负主要责任，假设为 70%，那么对方车辆驾驶员（或其保险公司）就需要承担你 70%的经济损失。

特殊情况：可能支持全部赔偿诉求

虽然出租车负次要责任，但在某些特殊情况下，你可能有机会要求出租车赔偿全部经济损失：

1. 其他责任方无法赔偿：如果事故中的其他责任方（如对方车辆驾驶员）没有赔偿能力，比如对方车辆没有购买保险，且驾驶员个人经济状况极差，根本无力承担赔偿责任。在这种情况下，从公平和保护受害者权益的角度出发，法院可能会根据实际情况，酌情让出租车一方在超出其责任比例的范围内承担一定的赔偿责任，甚至有可能判决出租车赔偿全部经济损失，但这需要综合考虑多种因素，如你的受伤严重程度、家庭经济状况等。
2. 出租车存在重大过错或故意：如果出租车在事故中除了被认定的次要责任外，还存在其他重大过错或者故意行为，导致事故损失扩大。例如，出租车司机在事故发生后没有及时采取合理的救助措施，使得你的伤情加重，增加了医疗费用等经济损失。在这种情况下，法院可能会认定出租车司机存在更严重的过错，从而判决其承担全部赔偿责任。

法律建议

1. 收集证据：无论是一般情况还是特殊情况，证据都是关键。你需要收集与事故相关的各种证据，如交通事故责任认定书、医疗费用发票、诊断证明、误工证明等，这些证据将有助于证明你的经济损失以及各方的责任情况。
2. 协商解决：在起诉之前，你可以先尝试与出租车一方（包括其保险公司）进行协商，看是否能够达成一个合理的赔偿协议。协商解决可以节省时间和精力，避免漫长的诉讼过程。
3. 提起诉讼：如果协商无果，你可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要清晰地陈述事故经过、你的经济损失情况以及你的赔偿诉求，并提供充分的证据支持你的主张。

如果你在处理此类事故赔偿问题中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。