结论：出租车司机被其他车辆撞伤，能否请求出租车公司赔偿，需根据具体情况判断，主要涉及出租车司机与出租车公司之间的法律关系以及事故责任划分。以下从不同角度进行分析：
一、出租车司机与出租车公司的法律关系
劳动关系：
- 若出租车司机与出租车公司签订了劳动合同，建立了劳动关系，那么司机在执行工作任务（即驾驶出租车运营）过程中受到事故伤害，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。工作人员因执行工作任务遭受人身损害的，用人单位应当承担赔偿责任。”因此，司机有权请求出租车公司承担赔偿责任。
承包关系或挂靠关系：
- 若出租车司机与出租车公司之间是承包关系或挂靠关系，即司机承包出租车进行运营，或挂靠出租车公司名下运营，此时司机与出租车公司之间并非典型的劳动关系。在这种情况下，司机因其他车辆撞击受伤，一般不能直接请求出租车公司赔偿，除非能证明出租车公司在管理上存在过错，且该过错与事故发生有因果关系。
二、事故责任划分
对方全责：
- 若事故完全由对方车辆造成，对方负全部责任，那么出租车司机应首先向对方车辆及其保险公司请求赔偿。此时，出租车公司是否承担赔偿责任，取决于上述法律关系及出租车公司是否存在过错。
部分责任：
- 若事故责任部分在对方，部分在出租车司机（如司机存在违规驾驶等行为），则根据责任比例，出租车司机可向对方车辆及其保险公司请求相应比例的赔偿。同时，若出租车司机与出租车公司存在劳动关系，且司机在执行工作任务过程中受伤，出租车公司仍需承担相应的赔偿责任（如工伤赔偿等）。
三、特殊情况下的赔偿请求
- 出租车公司未尽安全保障义务：
- 无论出租车司机与出租车公司之间是何种法律关系，若出租车公司未尽到对司机的安全保障义务（如未提供安全性能良好的车辆、未进行必要的安全培训等），且该未尽义务与事故发生有因果关系，出租车司机均有权请求出租车公司承担相应的赔偿责任。
建议：
收集证据：
- 出租车司机应尽快收集事故现场照片、交警出具的事故责任认定书、医疗记录等相关证据，以证明事故发生的事实及责任划分。
明确法律关系：
- 出租车司机应明确自己与出租车公司之间的法律关系，以便确定赔偿请求的对象和依据。
及时咨询并寻求法律帮助：
- 在处理此类事故时，建议出租车司机及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及赔偿请求的具体流程和注意事项。如有需要，也可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。
总之，出租车司机被其他车辆撞伤后能否请求出租车公司赔偿，需根据具体情况判断。在处理此类事故时，应综合考虑法律关系、事故责任划分以及出租车公司是否尽到安全保障义务等因素。