结论：在租车作业驾驶过程中发生交通事故导致驾驶员受伤，能否要求司机赔偿需根据具体情况判断，主要取决于事故责任划分以及是否存在其他赔偿主体。以下从不同角度进行分析：
一、事故责任划分角度
若司机负事故全部或主要责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条：“因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人、管理人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。”
- 在此情况下，若司机（即机动车使用人）因过错（如超速、酒驾、违规变道等）导致事故发生，且该过错是事故发生的主要原因，那么司机应当对驾驶员的受伤承担赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。
若司机不负事故责任或负次要责任：
- 如果事故是由其他车辆或行人违规行为导致，司机在事故中无过错或仅负次要责任，那么司机可能不需要对驾驶员的受伤承担赔偿责任，或者仅承担部分赔偿责任。
- 此时，驾驶员的受伤赔偿应由事故责任方（如其他车辆的车主或保险公司）承担。
二、存在其他赔偿主体角度
租车公司责任：
- 如果租车公司在租车过程中存在过错（如未提供符合安全标准的车辆、未对驾驶员进行必要的安全培训等），且该过错与事故发生存在因果关系，那么租车公司也可能需要对驾驶员的受伤承担部分或全部赔偿责任。
保险公司责任：
- 如果租车公司或司机购买了车辆保险（如交强险、商业险等），那么驾驶员的受伤赔偿可能由保险公司根据保险合同约定进行赔付。
- 保险公司通常会在保险责任范围内对医疗费、残疾赔偿金、死亡赔偿金等费用进行赔付。
三、特殊情况考虑
- 驾驶员自身过错：如果驾驶员在事故中也存在过错（如未系安全带、未遵守交通规则等），那么其可能需要对自身的受伤承担部分责任，从而减轻司机的赔偿责任。
- 合同约定：如果租车合同中明确约定了事故赔偿的责任划分，那么应按照合同约定执行。但合同约定不得违反法律法规的强制性规定。
建议：
- 在处理此类事故时，建议首先报警并由交警部门出具事故责任认定书，明确事故责任划分。
- 收集并保存好相关证据（如医疗记录、费用单据、事故现场照片等），以便后续维权。
- 如果对事故责任划分或赔偿问题存在争议，建议及时咨询专业律师（即我本人，黄国绪律师，专注于交通运输事故赔偿等领域），以便更好地维护自身权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。