结论：针对您忘记续签合同四个月，员工主动辞职并索赔的情况，首先需明确的是，未续签劳动合同本身并不直接导致您需要支付赔偿金，但可能涉及双倍工资差额的支付问题。具体是否需要支付以及支付多少，需结合实际情况判断。以下是从不同角度的详细分析：
一、未续签劳动合同的法律后果
双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在员工合同到期后未续签，且超过了一个月的时间，那么从第二个月起，您可能需要支付双倍工资差额。
- 在您的情况下，已经四个月未续签，因此可能面临支付三个月双倍工资差额的风险（第一个月为正常工资，后三个月为双倍差额）。但具体计算还需考虑员工实际工资水平、当地最低工资标准等因素。
无固定期限劳动合同：
- 如果员工在您处连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同后再次续订，且员工提出订立无固定期限劳动合同的，您应当订立。但此情况与您当前的问题关联不大，除非员工符合这些条件且您未续签。
二、员工主动辞职的索赔问题
经济补偿金：
- 员工主动辞职，一般情况下，您无需支付经济补偿金。但存在例外情况，如员工因您未提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等情形而辞职的，您需要支付经济补偿金。
- 在您的情况下，如果员工仅以未续签劳动合同为由辞职，并不直接构成您需要支付经济补偿金的理由。但员工可能会主张未续签合同导致其权益受损，从而要求赔偿，这需结合具体案情判断。
赔偿金：
- 赔偿金通常与违法解除劳动合同相关。在您的情况下，员工是主动辞职，因此一般不涉及赔偿金的问题。但如果员工能证明您存在违法行为（如未续签合同且存在其他违法行为），并因此导致其辞职，那么可能会主张赔偿金。但这种情况较为复杂，需具体分析。
三、建议与措施
尽快续签或补签劳动合同：
- 无论员工是否已经辞职，您都应尽快与其续签或补签劳动合同，以避免进一步的法律风险。
与员工协商解决：
- 尝试与员工进行友好协商，解释未续签合同的原因，并寻求双方都能接受的解决方案。如果员工同意不追究未续签合同的责任，那么可以避免不必要的法律纠纷。
准备相关证据：
- 如果员工坚持索赔，您应准备相关证据（如工资单、考勤记录、未续签合同的通知等）以证明您的立场和事实情况。
寻求法律帮助：
- 如果情况复杂或您无法自行处理，建议寻求专业律师的帮助。我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务，帮助您应对可能的法律纠纷。
最后，每个案件都有其独特性，上述分析仅供参考。如果您有更详细的情况或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更全面、准确的法律建议。