结论：老板在你下班路上受伤后来医院签合同这一行为是否合理，需分情况讨论，主要取决于受伤是否属于工伤以及合同签订的具体情况。以下从不同角度为你详细分析：
一、关于下班路上受伤是否构成工伤
构成工伤的情况：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。如果你在下班路上受伤符合这一条件，那么你的受伤就属于工伤。
- 法律建议：如果构成工伤，你应尽快向用人单位报告，并要求用人单位在30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按时提出申请，你或你的近亲属、工会组织可以在1年内直接提出申请。
不构成工伤的情况：
- 如果你在下班路上受伤是由于自己主要责任导致的交通事故，或者不是交通事故导致的伤害，那么可能不构成工伤。
- 法律后果：如果不构成工伤，你将无法享受工伤保险待遇，但可能可以根据其他法律规定（如人身损害赔偿等）寻求救济。
二、关于老板来医院签合同的行为
合同签订的时间与合理性：
- 合同签订通常应在双方自愿、平等、公平的基础上进行，且应确保双方对合同内容有充分的理解。老板在你受伤后来医院签合同，如果合同内容与你的受伤无关，且你能够充分理解合同内容并自愿签订，那么这一行为本身并不违法。
- 但需注意：如果老板利用你受伤、急需医疗费用或担心失去工作等心理压力，迫使你签订不公平的合同，或者合同内容与你的受伤有直接关联（如要求你放弃工伤赔偿等），那么这一行为可能构成胁迫或欺诈，合同可能无效或可撤销。
合同签订的内容与合法性：
- 无论何时签订合同，都应确保合同内容合法、合规，不违反法律法规的强制性规定。如果合同内容涉及违法或违规条款，那么该合同无效。
- 法律建议：在签订合同前，你应仔细阅读合同条款，确保自己理解并同意所有内容。如果有任何疑问或不确定之处，应及时向老板或专业人士咨询。
三、综合建议
- 先确定受伤是否构成工伤：这是后续所有行动的基础。如果构成工伤，你应按照工伤保险的相关规定进行申请和赔偿。
- 谨慎签订合同：在受伤的情况下，不要急于签订任何合同，尤其是与受伤相关的合同。确保自己有足够的时间和理解能力来评估合同内容。
- 寻求法律帮助：如果你对工伤认定、合同签订或赔偿等问题有任何疑问或不确定之处，应及时向我咨询或寻求其他专业律师的帮助。
总结：老板来医院签合同的行为是否合理，需根据受伤是否构成工伤以及合同签订的具体情况来判断。在处理此类问题时，务必保持谨慎和理性，确保自己的合法权益不受侵害。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。