结论：工作满10年医院未签合同，您有权要求医院签订书面劳动合同，并可主张未签合同期间的双倍工资差额（但需注意时效问题），同时您的工作年限计算、经济补偿等权益也受法律保护。以下从多个角度为您详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果及权益主张
双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：假设您月工资为X元，则医院应支付您从用工满一个月的次日起至满一年前一日止，共11个月的双倍工资差额，即11X元（但需注意，此权利主张的时效为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算）。
- 特殊情况：若您在医院工作已满10年，且医院从未与您签订书面劳动合同，则从用工满一年的次日起，视为您与医院已订立无固定期限劳动合同。但此前未签合同期间的双倍工资差额仍可主张（同样受时效限制）。
无固定期限劳动合同的订立：
- 根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 意义：无固定期限劳动合同意味着您与医院之间的劳动关系更加稳定，医院不得随意解除劳动合同，除非存在法定解除情形。
二、工作年限的计算及经济补偿
工作年限的计算：
- 即使医院未与您签订书面劳动合同，您的工作年限仍应从实际用工之日起计算。
- 影响：工作年限的长短直接影响您在经济补偿、年休假、医疗期等方面的权益。
经济补偿：
- 若医院因法定原因（如劳动合同期满、医院破产等）解除与您的劳动合同，或您因医院违法行为（如未支付劳动报酬、未缴纳社会保险等）而解除劳动合同，您有权要求医院支付经济补偿。
- 计算方式：经济补偿按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
三、维权途径及建议
与医院协商：
- 首先，您可以尝试与医院协商，要求医院签订书面劳动合同，并补发未签合同期间的双倍工资差额（若未过时效）。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，要求劳动监察部门对医院进行查处，并督促医院与您签订书面劳动合同。
申请劳动仲裁：
- 若投诉仍未解决问题，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求医院支付未签合同期间的双倍工资差额（若未过时效）、确认您与医院之间的无固定期限劳动合同关系，并主张其他相关权益。
注意事项：
- 在维权过程中，请务必保留好相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与医院之间存在劳动关系及您的工作年限。
- 同时，请注意时效问题，及时主张您的权利，以免因超过时效而丧失胜诉权。
最后，若您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况为您提供更详细的法律建议和帮助。