结论概述：针对员工患癌、两次合同到期后第三次续签公司想签短期合同的情况，这涉及到劳动合同的续签、医疗期以及无固定期限劳动合同的签订等多个法律问题。以下将从这几个方面进行详细分析。
一、劳动合同的续签与医疗期
医疗期的规定：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得解除劳动合同，且应支付病假工资或疾病救济费。
医疗期内的合同续签：
- 如果员工在医疗期内，且两次合同已经到期，公司提出续签短期合同，这可能涉及违反医疗期保护的规定。因为医疗期内，员工享有不被解雇的权利，且合同应顺延至医疗期满。
二、无固定期限劳动合同的签订
签订条件：
- 根据《劳动合同法》的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
员工患癌是否影响签订无固定期限合同：
- 员工患癌并不属于《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位的规章制度等）和第四十条第一项、第二项（如劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的等）规定的情形。因此，如果员工已经连续订立二次固定期限劳动合同，且医疗期已满或不影响工作，员工有权要求签订无固定期限劳动合同。
三、公司提出签短期合同的法律后果
违法解除或终止合同的风险：
- 如果公司在医疗期内或员工符合签订无固定期限劳动合同的条件下，提出签订短期合同并拒绝签订无固定期限劳动合同，可能构成违法解除或终止劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，公司应支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
经济补偿的计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果公司违法解除或终止合同，则需支付上述经济补偿标准的二倍作为赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（其中，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
四、建议与行动
与公司协商：
- 建议员工首先与公司进行协商，明确表达自己的意愿和诉求，争取签订无固定期限劳动合同或合理的固定期限劳动合同。
收集证据：
- 如果协商无果，员工应收集相关证据，如劳动合同、医疗证明、工资单等，以备后续维权之需。
寻求法律援助：
- 员工可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。在此过程中，如有需要，可以随时向我咨询相关法律问题。
综上所述，员工在患癌且两次合同到期后，有权根据法律规定要求签订无固定期限劳动合同或合理的固定期限劳动合同。公司提出签订短期合同可能涉及违法解除或终止合同的风险，员工应谨慎对待并寻求法律援助以维护自己的权益。