结论：第一年公司和员工签了书面劳动合同，第二年公司没和员工续签书面劳动合同，员工是有可能获得补偿的，具体分为以下几种情况：
一、事实劳动关系与双倍工资赔偿
事实劳动关系的认定：
- 如果劳动合同到期后，员工继续在公司工作，且公司接受了这种工作状态，那么双方就已到期的劳动合同继续履行，成立了事实劳动关系。
双倍工资赔偿的条件与计算：
- 若公司在劳动合同到期后继续用工，但超过一个月不满一年未与员工订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，公司应当向员工每月支付二倍的工资。
- 计算公式：双倍工资赔偿 = 月工资 × 未签合同月数（从用工满一个月的次日至满一年前一日，最多不超过11个月）。
- 举例：假设员工月工资为5000元，公司第二年未签合同且用工满6个月（从第2个月至第7个月），则公司需支付的双倍工资赔偿为5000元 × 5个月（实际未签合同的月数，从第2个月起算）= 25000元（但注意，这里计算的是额外赔偿部分，员工实际应得为正常工资加上这部分赔偿，即5000元×6个月+25000元赔偿中的差额部分，因第一个月工资已正常支付，所以实际额外获赔25000元，总获得为5000元×6个月+25000元（赔偿中超出已支付工资的部分）=55000元中的工资加赔偿概念，简化表述为获赔25000元额外赔偿，加上原本就应得的工资）。更准确的表述是，这5个月公司需按双倍工资标准支付，即每月支付10000元，其中5000元为正常工资，5000元为赔偿，所以总共是50000元（含正常工资），但额外赔偿部分为25000元。
二、无固定期限劳动合同的视定与解除赔偿
无固定期限劳动合同的视同签订：
- 如果第二年未签合同的状态持续满一年，根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，视为公司与员工已订立无固定期限劳动合同。
违法解除的赔偿：
- 一旦被视为签订了无固定期限劳动合同，公司若要解除劳动关系，必须符合法定条件并支付相应补偿，否则属于违法解除。此时，员工有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 经济补偿标准：按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 举例：假设员工在公司工作了2年，月工资为5000元，若公司违法解除无固定期限劳动合同，则需支付的赔偿金为5000元 × 2年 × 2 = 20000元。
三、经济补偿的支付条件（非违法解除情形）
- 如果公司在劳动合同到期后选择不续签，并且没有维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条，公司应当向员工支付经济补偿。
- 经济补偿标准：同上，按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
四、劳动者的维权途径
- 员工要主张这些赔偿，首先应收集能证明与公司存在劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。
- 之后可以与公司协商赔偿事宜，协商不成时，可以向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
五、特殊情况说明
- 如果未续签劳动合同是由于员工个人的重大错误或法定过错情形导致的，公司可能无需支付经济补偿。
总结与建议：
- 员工在遇到公司第二年未签劳动合同的情况时，应首先确认自己与公司之间是否存在事实劳动关系，并收集相关证据。
- 根据具体情况，员工可以要求公司支付双倍工资赔偿、经济补偿或违法解除赔偿金。
- 若与公司协商无果，员工应及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
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