若公司第二年未与员工签订书面劳动合同，员工有权要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额，最长不超过11个月。具体分析如下：

1. 法律依据
   根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条及《劳动合同法实施条例》第七条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若满一年仍未签订，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，但公司仍需支付用工满一个月至满一年期间（共11个月）的双倍工资差额。

2. 赔偿计算方式
   双倍工资差额的计算基数为劳动者当月应得工资（包括基本工资、奖金、津贴等），但需扣除加班工资、非常规性奖金等非固定部分。例如，若员工月工资为8000元，公司第二年未签合同，则需额外支付11个月×8000元=88,000元作为赔偿。

3. 仲裁时效限制
   劳动者需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。例如，若员工在第二年12月发现未签合同，则需在第三年12月前提出仲裁请求，否则可能因超过时效而丧失胜诉权。

4. 例外情形
   若未签合同系因劳动者拒绝签订、故意拖延或提供虚假信息导致，公司需提供证据（如书面通知、录音等）证明已履行签订义务，否则仍需承担赔偿责任。此外，若公司已与劳动者签订电子合同或补签书面合同（落款日期为实际用工日），则可能免除赔偿责任。

建议行动步骤：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证等证明劳动关系的材料；
   
2. 计算赔偿金额：根据实际工资和未签合同期限核算双倍工资差额；
   
3. 协商或仲裁：优先与公司协商，若协商无果，可在时效内申请劳动仲裁。
   

如有进一步疑问或需具体计算赔偿金额，可直接向我咨询。