结论：在第一次未签劳动合同，第二次签订书面劳动合同期满后，是否需要签订无固定期限劳动合同，这主要取决于是否满足法律规定的条件以及双方的协商情况。并非在所有情况下第二次合同期满后都必须签订无固定期限劳动合同。以下从不同角度进行分析：

一、法律规定条件

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的（除非劳动者明确提出订立固定期限劳动合同），应当订立无固定期限劳动合同：

1. 劳动者在该用人单位连续工作满十年的：

   • 例如，小张自2010年起一直在某公司工作，至2020年已连续工作满十年。若此时第二次劳动合同期满，且小张提出签订无固定期限劳动合同，公司应予以订立。

2. 用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的：

   • 如某国有企业2015年改制，老王已在该企业连续工作12年且距退休不足10年。若此时第二次劳动合同期满，老王提出签订无固定期限劳动合同，企业应予以订立。

3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形：

   • 这意味着，如果劳动者在两次固定期限劳动合同期间表现良好，没有严重违反规章制度、不能胜任工作等情形，那么在第二次合同期满时，若劳动者提出签订无固定期限劳动合同，用人单位应予以订立。

二、双方协商情况

• 即使满足上述条件之一，双方仍有权根据实际情况和意愿协商选择合同类型。如果劳动者未提出签订无固定期限劳动合同的请求，或者用人单位与劳动者协商一致选择签订固定期限劳动合同，那么也是可以的。

三、实际操作与法律责任

1. 合规操作：

   • 当劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，且未提出固定期限请求时，用人单位应依法与其签订无固定期限劳动合同。

2. 违法责任：

   • 若用人单位违反规定拒绝订立无固定期限劳动合同，则需自应订立之日起向劳动者每月支付二倍工资作为赔偿。

3. 维权途径：

   • 劳动者在面对用人单位的违法行为时，可通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益，要求签订无固定期限劳动合同并索赔损失。

四、案例说明

• 案例一：小李在某公司连续工作了八年，期间签订了两次固定期限劳动合同。第二次合同期满时，小李提出签订无固定期限劳动合同，但公司拒绝并提出了固定期限合同。由于小李不符合连续工作满十年的条件，且双方未就无固定期限合同达成一致，因此公司有权选择签订固定期限合同。但需注意，若小李继续在公司工作且公司未提出异议，可能视为双方已订立无固定期限劳动合同（根据《劳动合同法》第十四条第三款规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，但此情况需具体分析）。

• 案例二：小张在某公司连续工作了十二年，期间签订了两次固定期限劳动合同且表现良好。第二次合同期满时，小张提出签订无固定期限劳动合同，公司应予以订立。若公司拒绝，则需承担违法责任。

总结：第二次书面劳动合同期满后是否需要签订无固定期限劳动合同，取决于是否满足法律规定的条件以及双方的协商情况。作为劳动者，应了解自己的权益并适时提出合理请求；作为用人单位，应遵守法律规定并尊重劳动者的选择权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。