结论是：私人小店没有签合同但倒闭了，仍然需要赔偿员工工资。以下从不同角度为你详细分析：

法律义务角度

1. 劳动关系认定：根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，即使没有签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，用人单位就应当承担相应的法律责任。在私人小店工作的员工，如果能够证明与小店之间存在事实劳动关系（例如有工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据），那么小店就应当按照法律规定支付员工工资。
2. 工资支付义务：用人单位有义务按照劳动合同约定或者国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。这是用人单位的基本法律义务，不因是否签订书面劳动合同而免除。即使小店倒闭，这一义务仍然存在，小店的经营者或者相关责任人需要承担支付工资的责任。

倒闭后的处理角度

1. 资产清算与支付顺序：当私人小店倒闭时，需要进行资产清算。在清算过程中，员工的工资属于优先受偿的债权范围。根据《企业破产法》等相关规定，在清偿破产费用和共益债务后，应当先清偿职工的工资和医疗、伤残补助、抚恤费用，所欠的应当划入职工个人账户的基本养老保险、基本医疗保险费用，以及法律、行政法规规定应当支付给职工的补偿金。这意味着，在小店资产清算后，员工的工资有优先得到支付的权利。
2. 经营者个人责任：如果私人小店是个体工商户或者个人独资企业等形式，那么经营者个人需要对小店的债务承担无限责任。也就是说，当小店的资产不足以支付员工工资时，经营者需要用自己的个人财产来支付剩余的工资。

实际案例参考角度

在司法实践中，有许多类似的案例。例如，某个体工商户经营的服装店倒闭，没有与员工签订书面劳动合同，但员工通过提供工资条、工作照片等证据证明了事实劳动关系的存在。最终，法院判决该个体工商户的经营者需要支付员工拖欠的工资。

建议与行动

1. 收集证据：作为员工，应当尽快收集能够证明与小店存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据将有助于在后续的维权过程中证明自己的权益。
2. 协商与调解：可以尝试与小店的经营者或者相关责任人进行协商，要求支付拖欠的工资。如果协商无果，可以向当地的劳动争议调解组织申请调解，寻求第三方的帮助来解决问题。
3. 申请仲裁或诉讼：如果协商和调解都无法解决问题，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。

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