结论：您可以通过协商、申请警方调解或向法院起诉的方式，要求对方赔偿医药费及其他合理费用。以下是具体分析：

1. 协商解决：在对方被警方拘留期间或拘留结束后，您可以主动与对方或其家属联系，就医药费及其他相关损失（如误工费、交通费等）进行协商。协商时，建议保留好所有医疗费用单据、诊断证明等证据，以便明确赔偿金额。如果双方能够达成一致，可以签订书面赔偿协议，确保权益得到保障。

2. 申请警方调解：在警方处理案件过程中，您可以向警方提出调解申请。警方会根据双方意愿和实际情况，组织调解。调解成功后，警方会出具调解协议书，双方签字确认后具有法律效力。如果对方不履行调解协议，您可以凭此协议向法院申请强制执行。

3. 向法院起诉：如果协商和调解均无法达成一致，您可以向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿医药费及其他合理损失。起诉时，需要准备起诉状、证据材料（如医疗费用单据、诊断证明、警方出具的行政处罚决定书等）并提交给法院。法院会依法审理案件，并作出判决。如果对方不履行判决，您可以向法院申请强制执行。

额外提醒：在处理此类事件时，务必保持冷静和理性，避免与对方发生进一步冲突。同时，及时收集并保存好所有相关证据，以便在后续协商、调解或诉讼过程中维护自己的合法权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。