结论：若对方在警察提议和解后迟迟不支付医药费，你可以通过向公安机关申请调解、向法院提起民事诉讼或申请强制执行等途径来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 向公安机关申请再次调解：

   • 警察在初步提议和解后，如果对方没有履行支付医药费的承诺，你可以向公安机关申请再次调解。公安机关会根据双方的情况，再次尝试促成和解，并明确支付医药费的时间和方式。
   • 法律依据：虽然具体的调解程序可能因地区而异，但公安机关在处理轻微伤害案件时，通常会根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，尝试通过调解解决纠纷。

2. 向法院提起民事诉讼：

   • 如果调解无果，你可以向法院提起民事诉讼，要求对方支付医药费以及可能的其他损失（如误工费、交通费等）。
   • 诉讼流程：
     • 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料（如医疗记录、费用清单、调解记录等）。
     • 提交法院：将起诉材料提交至有管辖权的法院，并缴纳诉讼费。
     • 法院审理：法院会安排开庭审理，双方进行辩论和举证。
     • 判决与执行：如果法院判决对方支付医药费，但对方仍不履行，你可以申请法院强制执行。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。

3. 申请强制执行：

   • 如果法院已经判决对方支付医药费，但对方仍不履行判决，你可以向法院申请强制执行。
   • 执行措施：法院可以采取多种执行措施，如查封、扣押、拍卖对方的财产，或者将对方列入失信被执行人名单等。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。

建议与提醒：

• 在处理此类纠纷时，务必保留好所有相关的证据材料，如医疗记录、费用清单、调解记录等，以便在需要时提供证明。
• 如果对方确实存在经济困难，无法一次性支付医药费，你可以考虑与对方协商分期支付的方式，并签订书面协议以明确双方的权利和义务。
• 在整个过程中，如果感到困惑或无法自行处理，建议及时向我咨询，以便获得更专业的法律帮助。

后续行动指南：

• 首先尝试与对方沟通，明确支付医药费的时间和方式。
• 如果沟通无果，向公安机关申请再次调解。
• 如果调解仍然无果，准备起诉材料并向法院提起民事诉讼。
• 如果法院判决后对方仍不履行，向法院申请强制执行。

在整个过程中，务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。