结论：打胎请假，私人公司一般不可以随意开除员工，否则可能构成违法解除劳动合同。不过，具体是否合法还需根据请假流程、公司规章制度以及员工请假时长等因素综合判断。

分析如下：

1. 从法律规定角度：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，女职工在孕期、产期、哺乳期享有特殊的法律保护。虽然“打胎”并不直接等同于“孕期、产期、哺乳期”的完整保护范畴，但打胎后女职工身体需要恢复，通常也应视为需要特殊照顾的时期。
   • 公司在此时开除员工，除非员工存在严重违反公司规章制度或法律法规的行为，否则很可能被认定为违法解除劳动合同。

2. 从请假流程和公司规章制度角度：

   • 如果员工按照公司规定的流程请了病假（打胎后通常需要休息，可视为病假），并且提供了相应的医疗证明，那么公司应当批准并按照规定支付病假工资。
   • 如果公司规章制度中明确规定了打胎请假的相关处理办法，且该办法不违反法律法规的强制性规定，那么公司应按照规章制度执行。但即便如此，公司也不能随意开除员工，除非员工的行为严重违反了规章制度。

3. 从员工请假时长和公司运营影响角度：

   • 如果员工请假时间过长，确实对公司运营产生了较大影响，公司也不能直接开除员工。而是应该与员工协商，看是否能够调整工作岗位、缩短请假时间或者采取其他合理措施。
   • 在任何情况下，公司都不能以员工请假为由，单方面解除劳动合同而不支付任何经济补偿。

法律建议：

• 对于员工：如果公司以打胎请假为由开除你，你可以先与公司协商，要求公司说明开除的理由和依据。如果协商无果，你可以向当地劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
• 对于公司：建议公司在处理此类问题时，要谨慎对待，遵循法律法规和公司规章制度的规定。如果确实需要开除员工，应当确保有充分的理由和依据，并按照规定支付经济补偿。

可能后果：

• 如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的计算通常根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
• 如果员工因此提起劳动仲裁或诉讼，公司可能需要承担额外的法律费用和声誉损失。

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